Normalform einer Matrix und geschickte Wahl einer Basis

Durch einen Basiswechsel ändert sich die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung. Bei geschickter Wahl der Basen kann man die Darstellungsmatrix sogar auf eine besonders einfache Form bringen. Matrixtheoretisch bedeutet dies, dass man jede Matrix durch Multiplikation mit geeigneten invertierbaren Matrizen in diese so genannte Normalform bringen kann.
Dabei versteht man unter der Normalform eine Matrix der Form
(1)
\(\displaystyle \pmatrix{ {E_r}& \vert & 0\\ \hline 0 & \vert & 0}\),
wobei die obere linke Ecke die \(\displaystyle r\)- Einheitsmatrix ist und der Rest nur Nullen enthält.
 
 

Satz 16B4

Seien \(\displaystyle V,W\) endlich dimensionale Vektorräume und \(\displaystyle f:V\to W\) eine lineare Abbildung. Dann existieren Basen \(\displaystyle B\) von \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle C\) von \(\displaystyle W\), so dass die Darstellungsmatrix von \(\displaystyle f\) Normalform hat, also
\(\displaystyle M_{B,C}(f)=\pmatrix{ {E_r}& \vert & 0\\ \hline 0 & \vert & 0}\)
und \(\displaystyle r=\dim\Image f\).

Beweis

Man wählt \(\displaystyle v_1,\dots,v_r\in V\) so, dass \(\displaystyle w_k=f(v_k)\) und \(\displaystyle w_1,\dots,w_r\) eine Basis von \(\displaystyle \Image(f)\) bilden. Nach dem Basisergänzungssatz kann man diese Basis zu einer Basis \(\displaystyle C=(w_1,\dots, w_r,\dots,w_m)\) von \(\displaystyle W\) ergänzen.
Ist nun \(\displaystyle (u_1,\dots,u_s)\) eine Basis von \(\displaystyle \Ker f\), so bildet nach Satz 15XO \(\displaystyle B=(v_1,\dots,v_r,u_1,\dots,u_s)\) eine Basis von \(\displaystyle V\).
Die Darstellungsmatrix \(\displaystyle M_{B,C}(f)\) hat bei der Wahl dieser Basen nun gerade die Form (1) und es gilt nach der Dimensionsformel \(\displaystyle r=\dim\Image f\) \(\displaystyle \qed\)

Satz 16B5 (Normalformensatz)

Sei \(\displaystyle A\in\Mat(m\cross n,K)\) eine Matrix. Dann gibt es invertierbare Matrizen \(\displaystyle U\in\plain{GL}(m,K)\) und \(\displaystyle V\in\plain{GL}(n,K)\), so dass
\(\displaystyle UAV=\pmatrix{ {E_r}& \vert & 0\\ \hline 0 & \vert & 0}\)
eine Matrix in Normalform ist und \(\displaystyle r=\rang A\) dem Rang der Matrix \(\displaystyle A\) also der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten entspricht.

Beweis

Seien \(\displaystyle B,C\) die Standardbasen des \(\displaystyle K^n\) bzw. \(\displaystyle K^m\). Dann gibt es eine lineare Abbildung \(\displaystyle f:K^n\to K^m\), so dass \(\displaystyle A\) genau der Darstellungsmatrix dieser Abbildung entspricht (vgl. Bemerkung 16B6).Nach Satz 16B4 gibt es Basen \(\displaystyle B'\) von \(\displaystyle K^n\) und \(\displaystyle C'\) von \(\displaystyle K^m\), so dass \(\displaystyle M_{B',C'}(f)\) eine Matrix der Gestalt (1) ist. Man setzt nun \(\displaystyle U=M_{C,C'}(\id)\) und \(\displaystyle V=M_{B',B}(\id)\) und erhält mit Satz 16B1 \(\displaystyle M_{B',C'}(f)=M_{C,C'}(\id_W)\, \cdot M_{B,C}(f)\, \cdot M_{B',B}(\id_V)\) \(\displaystyle =UAV\)
Die Rangaussage folgt aus Satz 16B8. \(\displaystyle \qed\)

Jede mathematische Formel in einem Buch halbiert die Verkaufszahl dieses Buches.

Stephen Hawking

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе