Normalform einer Matrix und geschickte Wahl einer Basis

Durch einen Basiswechsel ändert sich die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung. Bei geschickter Wahl der Basen kann man die Darstellungsmatrix sogar auf eine besonders einfache Form bringen. Matrixtheoretisch bedeutet dies, dass man jede Matrix durch Multiplikation mit geeigneten invertierbaren Matrizen in diese so genannte Normalform bringen kann.
Dabei versteht man unter der Normalform eine Matrix der Form
(Er∣00∣0)\pmatrix{ {E_r}& \vert & 0\\ \hline 0 & \vert & 0}, (1)
wobei die obere linke Ecke die rr- Einheitsmatrix ist und der Rest nur Nullen enthält.
 
 

Satz 16B4

Seien V,WV,W endlich dimensionale Vektorräume und f:V→Wf:V\to W eine lineare Abbildung. Dann existieren Basen BB von VV und CC von WW, so dass die Darstellungsmatrix von ff Normalform hat, also
MB,C(f)=(Er∣00∣0)M_{B,C}(f)=\pmatrix{ {E_r}& \vert & 0\\ \hline 0 & \vert & 0}
und r=dim⁡imfr=\dim\Image f.

Beweis

Man wählt v1,…,vr∈Vv_1,\dots,v_r\in V so, dass wk=f(vk)w_k=f(v_k) und w1,…,wrw_1,\dots,w_r eine Basis von im(f)\Image(f) bilden. Nach dem Basisergänzungssatz kann man diese Basis zu einer Basis C=(w1,…,wr,…,wm)C=(w_1,\dots, w_r,\dots,w_m) von WW ergänzen.
Ist nun (u1,…,us)(u_1,\dots,u_s) eine Basis von kerf\Ker f, so bildet nach Satz 15XO B=(v1,…,vr,u1,…,us)B=(v_1,\dots,v_r,u_1,\dots,u_s) eine Basis von VV.
Die Darstellungsmatrix MB,C(f)M_{B,C}(f) hat bei der Wahl dieser Basen nun gerade die Form (1) und es gilt nach der Dimensionsformel r=dim⁡imfr=\dim\Image f □\qed

Satz 16B5 (Normalformensatz)

Sei A∈Mat(m×n,K)A\in\Mat(m\cross n,K) eine Matrix. Dann gibt es invertierbare Matrizen U∈GL⁡(m,K)U\in\plain{GL}(m,K) und V∈GL⁡(n,K)V\in\plain{GL}(n,K), so dass
UAV=(Er∣00∣0)UAV=\pmatrix{ {E_r}& \vert & 0\\ \hline 0 & \vert & 0}
eine Matrix in Normalform ist und r=rang⁡Ar=\rang A dem Rang der Matrix AA also der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten entspricht.

Beweis

Seien B,CB,C die Standardbasen des KnK^n bzw. KmK^m. Dann gibt es eine lineare Abbildung f:Kn→Kmf:K^n\to K^m, so dass AA genau der Darstellungsmatrix dieser Abbildung entspricht (vgl. Bemerkung 16B6). Nach Satz 16B4 gibt es Basen B′B' von KnK^n und C′C' von KmK^m, so dass MB′,C′(f)M_{B',C'}(f) eine Matrix der Gestalt (1) ist. Man setzt nun U=MC,C′(id⁡)U=M_{C,C'}(\id) und V=MB′,B(id⁡)V=M_{B',B}(\id) und erhält mit Satz 16B1 MB′,C′(f)=MC,C′(id⁡W) ⋅MB,C(f) ⋅MB′,B(id⁡V)M_{B',C'}(f)=M_{C,C'}(\id_W)\, \cdot M_{B,C}(f)\, \cdot M_{B',B}(\id_V) =UAV=UAV
Die Rangaussage folgt aus Satz 16B8. □\qed

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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