Multiplikation von Matrizen

Es wäre nahe liegend, die Matrizenmultiplikation analog zur Addition komponentenweise zu definieren. Wir verwenden jedoch ein auf den ersten Blick komplizierter anmutendes Verfahren. Dieses erlaubt dann eine enge Beziehung zwischen der Matrizenmultiplikation und der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen herzustellen (vgl. Satz 15YX).

Damit zwei Matrizen $A$ und $B$ miteinander multipliziert werden können, müssen sie zueinander passen. Die Anzahl der Spalten von $A$ muss mit der Anzahl von Zeilen von $B$ übereinstimmen.

Seien nun $A\in\Mat(m\cross l,K)$ und $B \in\Mat(l\cross n,K)$. Unter dem Produkt der Matrizen verstehen wir die Matrix $C\in\Mat(m\cross n,K)$, deren Elemente $c_{ij}$ sich als folgende Summen ergeben:

Die Elemente der Produktes entstehen also durch komponentenweise Multiplikation der Zeilenvektoren aus $A$ und der Spaltenvektoren aus $B$ und Aufsummieren der Ergebnisse.

Merkregel: Das Element an der Position $i,j$ entsteht aus der $i$-ten Zeile von $A$ und der $j$-ten Spalte von $B$.

$\pmatrix {1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 }\cdot \pmatrix {7 &{\, 10}\\ 8& {\, 11} \\ 9 &{\, 12}}$ $=\pmatrix { {1\cdot 7+2\cdot 8+3\cdot 9}& {1\cdot 10+2\cdot 11+3\cdot 12} \\ {4\cdot 7+5\cdot 8+6\cdot 9}& {4\cdot 10+5\cdot 11+6\cdot 12} }$ $=\pmatrix{{50}& {68}\\{122}&{167}}$

$\pmatrix {7 &{\, 10}\\ 8& {\, 11} \\ 9 &{\, 12}}\cdot \pmatrix {1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 }$ $=\pmatrix{ {7\cdot 1+10\cdot 4}&{7\cdot 2+10\cdot 5}&{7\cdot 3+10\cdot 6}\\ {8\cdot 1+11\cdot 4}&{8\cdot 2+11\cdot 5}&{8\cdot 3+11\cdot 6}\\ {9\cdot 1+12\cdot 4}&{9\cdot 2+12\cdot 5}&{9\cdot 3+12\cdot 6} }$ $=\pmatrix{{47\, }&{64\, }&{81}\\ {52\, }&{71\, }&{90}\\{57\, }&{78\, }&{99}}$

Einen Spaltenvektor kann man als $m\cross 1$- Matrix auffassen und einen Zeilenvektor als $1\cross n$- Matrix. Damit kann sofort die Multiplikation "Matrix mal Spaltenvektor" sowie "Zeilenvektor mal Matrix" auf die Multiplikation von Matrizen zurückgeführt werden. Das Ergebnis ist dann ein Spaltenvektor bzw. ein Zeilenvektor.

$\pmatrix {1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 }\cdot \pmatrix{1 \\ \me\\ 2}=\pmatrix {{1\cdot 1-1\cdot 2+2\cdot 3 }\\ {1\cdot 4-1\cdot 5+2\cdot 6 }}$ $=\pmatrix {{5}\\ {11}}$

$\pmatrix {2&1}\cdot\pmatrix {1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 }=\pmatrix{2\cdot 1+1\cdot 4& 2\cdot 2+1\cdot 5& 2\cdot 3+1\cdot 6}$$= \pmatrix {{6} & 9& 12}$