Hintereinanderausführung linearer Abbildungen und Matrizen

Seien UU, VV und WW endlich dimensionale Vektorräume über dem Körper KK. Seien f:U→Vf:U\rightarrow V und g:V→Wg:V\rightarrow W lineare Abbildungen. Diese haben nun die Darstellungsmatrizen MfM_f und MgM_g für geeignete Basen. Wenn dim⁡U=k\dim U=k, dim⁡V=m\dim V= m und dim⁡W=n\dim W=n, so ist Mf∈Mat(m×k,K)M_f\in \Mat(m\cross k ,K) und Mg∈Mat(n×m,K)M_g\in \Mat(n\cross m,K).
Die Hintereinanderausführung g∘f:U→Wg \circ f: U\rightarrow W ist dann wieder eine lineare Abbildung. Es gilt:

Satz 15YX

Die Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen entspricht der Multiplikation von Matrizen. Seien U,V,WU,V,W endlich dimensionale Vektorräume mit den Basen B,C,DB,C,D, f:U→Vf:U\to V und g:V→Wg: V\to W lineare Abbildungen. Dann gilt für die Darstellungsmatrix der zusammengesetzten Abbildung g∘fg\circ f
MB,D(g∘f)=MC,D(g) ⋅MB,C(f)M_{B,D}(g\circ f)=M_{C,D}(g)\, \cdot M_{B,C}(f)

Beweisidee

Man schreibt die einzelnen Darstellungsmatrizen auf und vergleicht ihre Elemente unter Benutzung der Definition der Matrizenmultiplikation. □\qed

Bemerkung 16B2 (Darstellungsmatrix der identischen Abbildung)

Die identische Abbildung id⁡:V→V\id: V\rightarrow V eines Vektorraums in sich ist als id⁡(v)=v\id(v)=v definiert. Ihre Darstellungsmatrix bzgl. einer Basis BB ist die Einheitsmatrix MB(id⁡)=EM_B(\id)=E. Denn für einen beliebigen Basisvektor bkb_k gilt: id⁡(bk)=bk=1⋅bk\id(b_k)=b_k=1\cdot b_k.
 
 

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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