Bijektion, Bijektivität

Eine Abbildung f:A→Bf:A \rightarrow B heißt Bijektion oder bijektive Abbildung genau dann, wenn ff injektiv und surjektiv ist. Damit ist ff eine eineindeutige Auf-Abbildung. Jedem Element aus AA wird genau ein Element aus BB zugeordnet und alle Elemente aus BB kommen als Bilder vor.
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Grafische Veranschaulichung einer Bijektion
Betrachten wir jetzt die bijektiven Abbildungen einer Menge MM auf sich. Dann gibt es eine ausgezeichnete Bijektion id⁡\id, die identische Abbildung oder identische Funktion: id⁡(a):=a\id(a):=a.
Weiterhin halten wir fest, dass die Hintereinanderausführung zweier Bijektionen wieder eine Bijektion ist sowie dass die Umkehrung einer Bijektion eine Bijektion ist. Es gilt:
 
 

Satz 15XJ (Eigenschaften bijektiver Abbildungen)

Seien f:A→Bf:A\rightarrow B und g:B→Cg:B\rightarrow C bijektive Abbildungen. Dann gilt:
  1. Die Hintereinanderausführung g∘fg\circ f ist bijektiv.
  2. Die Umkehrabbildung f−1f^{\me} ist bijektiv

Beweis

Lässt sich durch Anwendung der Definition schnell überprüfen. □\qed
Wir bemerken noch, dass alle Bijektionen einer Menge MM auf sich bezüglich der Hintereinanderausführung ∘\circ eine Gruppe bilden, die symmetrische Gruppe. Neutrales Element ist die identische Abbildung id⁡\id. Ist MM endlich spricht man auch von Permutationen.

Beispiele

Die Funktion f1(x)=xf_1(x)=x ist bijektiv auf R\domR. Die Funktion f2(x)=x2f_2(x)=x^2 ist nicht bijektiv auf R\R jedoch als Abbildung f2:[0,∞[→[0,∞[f_2:[0,\infty[\to[0,\infty[ betrachtet bijektiv.
Oft ist folgendes Lemma nützlich

Lemma 5212C

Sei f:A→Bf:A \rightarrow B eine injektive Abbildung, dann ist die Einschränkung f:A→f(A)f:A \rightarrow f(A) eine Bijektion.
Natürlich ist dann auch f −1:f(A)→Af\, ^{-1}: f(A)\rightarrow A eine Bijektion.

Beweis

Sei b∈f(A)b\in f(A) damit gibt es nach Definition von f(A)f(A) ein a∈Aa\in A mit f(a)=bf(a)=b und damit ist ff surjektiv. □\qed

Satz B6HE

Seien f:A→Bf:A\to B und g:B→Ag:B\to A zwei Abbildungen, deren Komposition die identische Abbildung ergibt (g∘f=id⁡Ag\circ f=\id_A). Dann ist ff injektiv und gg surjektiv.

Beweis

Für a1,a2∈Aa_1,a_2\in A sei f(a1)=f(a2)f(a_1)=f(a_2)   ⟹  g(f(a1))=g(f(a2))\implies g(f(a_1))=g(f(a_2))   ⟹  a1=a2\implies a_1=a_2.
Für die Surjektivität von gg müssen wir zeigen, dass es für alle a∈Aa\in A ein b∈Bb\in B gibt mit g(b)=ag(b)=a. Nun leistet b=f(a)b=f(a) aber gerade das Geforderte. □\qed

Folgerung JJ25

Seien f:A→Bf:A\to B und g:B→Ag:B\to A zwei Abbildungen, deren wechselseitige Komposition die identische Abbildung ergibt (g∘f=id⁡Ag\circ f=\id_A und f∘g=id⁡Bf\circ g=\id_B). Dann sind sowohl ff als auch gg bijektiv.

Beweis

Man wende Satz B6HE zweifach an, dann sind ff und gg injektiv und surjektiv, also bijektiv. □\qed

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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