Relationen

Seien A1A_1, A2A_2,... AnA_n Mengen. So versteht man unter einer nn-stelligen Relation RR eine Teilmenge RA1×A2××AR\subseteq{ A_1\cross A_2 \cross \dots \cross A}.

Beispiel

In der euklidischen Ebene die Relation "kollinear", die für je drei Punkte festlegt, ob sie auf einer Gerade liegen. Hierbei handelt es sich um eine 3-stellige Relation. Die Beziehung "Punkt liegt auf Gerade" definiert eine zweistellige Relation zwischen den Punkten und Geraden der Ebene.

Binäre Relationen

Von besonderem Interesse sind die zweistelligen oder binären Relationen.
RR ist binäre Relation in AA :    RA×A:\iff R\subseteq A\cross A.
Eine Relation ist damit nichts anderes als eine Korrespondenz von AA in AA.
Wenn für zwei Elemente a,bAa,b\in A gilt, dass (a,b)R(a,b)\in R, schreibt man auch aRbaRb und drückt damit aus, dass aa und bb in Relation zueinander stehen.
Mit jeder binären Relation RR ist auch R1R^{-1} eine Relation und mit zwei binären Relationen RR und SS auch die Verknüpfung RSR\circ S eine Relation ist.
Oft meint man binäre Relationen, wenn man von Relationen spricht.

Beispiele

Die \leq-Beziehung zwischen Zahlen ist eine Relation. Aber auch die Teilmengenbeziehung \subseteq in beliebigen Mengensystemen. Beides sind so genannte Ordnungsrelationen.
Die Relation "betragsmäßig gleich" ist eine Relation zwischen Zahlen.

Klassifikation binärer Relationen

Gemäß ihren Eigenschaften kann man die Relationen charakterisieren.
RR ist reflexiv :    x:xRx:\iff \forall x: xRx
RR ist irreflexiv :    x:¬xRx:\iff \forall x: \not xRx
Bei reflexiven Relationen stehen also die Elemente mit sich selbst in Beziehung; und bei irreflexiven Relationen steht dagegen kein Element mit sich selbst in Beziehung.
RR ist symmetrisch :    x,y:xRy    yRx:\iff \forall x,y: xRy\implies yRx
Diese Definition, kann man sofort zu RR ist symmetrisch genau dann, wenn x,y:xRy        yRx\forall x,y: xRy\;\iff\; yRx erweitern.
RR ist asymmetrisch :    x,y:xRy      ¬yRx:\iff \forall x,y: xRy\;\implies \not yRx
Dies kann man auch wie folgt schreiben: ¬x,y:xRyyRx\not \exists x,y: xRy\and yRx.
RR ist antisymmetrisch :    x,y:xRyyRx    x=y:\iff \forall x,y: xRy \and yRx \implies x=y.
Mit jeder Relation RR ist auch die Umkehrung R1R^{-1} reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, asymmetrisch oder antisymmetrisch. Außerdem folgt aus der Asymmetrie die Irreflexivität.
RR ist transitiv :    x,y,z:xRyyRz    xRz:\iff \forall x,y,z: xRy \and yRz \implies xRz

Matrixdarstellung

Endliche zweistellige Relationen kann mit in der Form boolscher Matrizen darstellen. Sei AA eine mm-elementige und BB eine nn-elementige Menge. Ist RA×BR\subseteq A\cross B eine Relation so definiert man ihre Matrix MR=(mij)i=1m;j=1nM_R=(m_{ij})_{i=1\dots m;\, j=1\dots n} mit
mij={1(i,j)R0sonstm_{ij} =\ntxbraceKO{ \begin{array}{cl} 1 & (i,j)\in R \\ 0& \text{sonst} \end{array}}
 
 

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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