Teilweise Ordnungen

Eine Relation $R$ in $A$ heißt teilweise Ordnung, wenn $R$ reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.

Wenn $B\subseteq A$ eine Teilmenge von $A$ ist, dann heißt ein $b\in B$ kleinstes Element von $b$ bzgl. der Ordnung $R$, wenn für alle $x\in B$ gilt $pRx$.

Jede nichtleere Teilmenge $B$ kann höchstens ein kleinstes Element enthalten. Wenn nämlich $p$ und $q$ mit $p\neq q$ zwei kleinste Elemente in B wären, müsste aber $pRq$ und auch $qRp$ gelten. Aus der Antisymmetrie von $R$ folgt dann aber sofort $p=q$, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Natürlich muss eine Menge kein kleinstes Element besitzen.

Eine teilweise Ordnung $R$ in $A$ heißt Wohlordnung genau dann, wenn jede Teilmenge $B\subseteq A$ ein kleinstes Element besitzt.

Jede Wohlordnung ist linear. Denn mit zwei Elementen $x,y\in A$ besitzt die Menge $\{x,y\}$ ein kleinstes Element; oBdA sei dies $x$. Dann gilt $xRy$.

Andererseits ist aber nicht jede linear geordnete Menge wohlgeordnet. In $\dom Q$ mit der natürlichen Ordnung $\leq$ sei $B=\{q\in \dom Q| \space 2 \leq q^2\}$. Das kleinste Element dieser Menge wäre $\sqrt 2$, was bekanntlich keine rationale Zahl ist.

Eine genauere Untersuchung geordneter Mengen erfolgt im Rahmen der Verbandstheorie.