Verknüpfungen

Allgemeine Definition

Für eine natürliche Zahl nn seien nn Mengen A1,…,AnA_1, \ldots, A_n und eine weitere Menge BB gegeben. Dann wird jede Abbildung des kartesischen Produkts A1×…×AnA_1 \times \ldots \times A_n nach BB als n-stellige Verknüpfung bezeichnet. Eine solche Verknüpfung ordnet also jedem n-Tupel (x1,…,xn)(x_1, \ldots, x_n) mit x1∈A1,  …,  xn∈Anx_1 \in A_1, \; \ldots, \; x_n \in A_n eindeutig ein Element der Menge BB zu. Selbstverständlich können die Mengen A1,…,AnA_1, \ldots, A_n und BB teilweise oder ganz übereinstimmen.
Im Sonderfall, dass nur BB vorkommt, also Ai=BA_i = B für 1≤i≤n, 1\leq i\leq n, wird die Verknüpfung
B×…×B⎵n mal→B\underbrace{B\times\ldots\times B}_{n\ \text{mal}}\to B
innere n-stellige Verknüpfung oder n-stellige Operation auf BB genannt. Kommt BB wenigstens einmal unter den AiA_i vor, etwa
Ai≠B A_i\neq B\ für 1≤i≤m 1\leq i\leq m und Ai=BA_i=B für m+1≤i≤nm+1\leq i\leq n
für ein mm mit 0≤m<n,0\leq m<n, so heißt die Verknüpfung äußere n-stellige Verknüpfung auf BB mit Operatorenbereich A1×…×Am A_1 \times \ldots \times A_m\, Die Elemente von A1×…×AmA_1 \times \ldots \times A_m heißen dann Operatoren.
Eine innere nn-stellige Verknüpfung auf BB kann man auch als äußere 2-stellige Verknüpfung auf BB beispielsweise mit dem Operatorenbereich Bn−1B^{n-1} betrachten.
 
 

Beispiel

Die durch
(x,y,z)↦x+yz2+1(x,y,z) \mapsto \dfrac{x+y}{z^2+1}
definierte Abbildung von R×R×R\R\times\R\times\R nach R\R ist eine dreistellige Verknüpfung bzw. dreistellige innere Verknüpfung auf R\R.
Ist ff eine Abbildung von R\R nach R\R, so ist durch
∙⁡ ⁣:{f}×R→R, (f,x)↦f∙⁡x:=f(x)\operatorname\bullet\colon\{f\}\times\R\to\R,\ (f,x)\mapsto f\operatorname\bullet x := f(x),
jedem Paar aus der Abbildung ff und einem Element xx aus RR wird das Bild dieses Elementes unter der Abbildung zugeordnet eine zweistellige äußere Verknüpfung auf R\R mit Operatorenbereich {f}\{f\} und dem einzigen Operator ff gegeben.
Jede n-stellige Verknüpfung kann als (n+1)(n+1)-stellige Relation aufgefasst werden.

Nullstellige Verknüpfungen

Eine nullstellige Verknüpfung von einer Menge AA nach einer Menge BB ist eine Abbildung von A0={0}A^0 = \{0\} nach B(A0=A∅={f∣f ⁣:∅→A}={∅}={0})B (A^0 = A^\emptyset = \{f \mid f\colon \emptyset \to A\} = \{\emptyset\} = \{0\}), nämlich
c⁡b ⁣:A0→B,0↦b,\operatorname{c}_b\colon A^0 \to B, 0 \mapsto b, für ein b∈Bb \in B.
Da für jedes b∈Bb \in B genau eine Abbildung c⁡b\operatorname{c}_b existiert, gibt es eine Bijektion
g ⁣:{c⁡b∣b∈B}→B,c⁡b↦b,g\colon \{\operatorname{c}_b \mid b \in B\} \to B, \operatorname{c}_b \mapsto b,
so dass jedes c⁡b\operatorname{c}_b nicht von bb zu unterscheiden ist. Man kann daher c⁡b\operatorname{c}_b auch als das Element b∈Bb \in B auffassen, also als eine Konstante in BB.

Einstellige Verknüpfungen

Einstellige Verknüpfungen sind Abbildungen einer Menge AA nach einer Menge BB.
Beispiele:
  • Gegeben sei eine Menge AA. Für jedes Element XX der Potenzmenge P(A)P(A), also für jede Teilmenge XX von AA sei definiert:
 c⁡ ⁣:X↦Xc⁡:=A∖X\, ^{\operatorname c}\colon X \mapsto X^{\operatorname c} := A \setminus X (Komplement von XX).
  • Die Sinusfunktion sin⁡ ⁣:R→R\sin\colon \R \to \R, x↦sin⁡(x) x \mapsto \sin(x) ist eine einstellige Verknüpfung.

Zweistellige (binäre) Verknüpfungen

Hauptartikel: Zweistellige Verknüpfung
Besonders häufig wird der Begriff "Verknüpfung" im Sinn einer zweistelligen Verknüpfung verwendet. Wichtige Spezialfälle sind innere und äußere Verknüpfungen. Zweistellige Verknüpfungen werden oft in Infixschreibweise notiert, also durch ein zwischen den beiden Operanden stehendes Symbol wie etwa ein Pluszeichen.

Drei- und mehrstellige Verknüpfungen

Eher selten spricht man von drei- und mehrstelligen Verknüpfungen. Beispiele für eine dreistellige Verknüpfung sind:
  • die Abbildung, die je drei Vektoren aus dem R3\mathbb{R}^3 ihr Spatprodukt (aus R\mathbb{R}) zuordnet und
  • die Ternärverknüpfung in einem Ternärkörper.

Verknüpfungen in der Algebra

Verknüpfungen dienen in der Algebra dazu, algebraische Strukturen zu definieren. Die Verknüpfungen müssen dabei bestimmte Bedingungen (Axiome) erfüllen.
Zum Beispiel ist eine Halbgruppe eine Menge mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung, die das Assoziativgesetz erfüllt. Die Forderung, dass das Ergebnis der Verknüpfung wieder Element der gegebenen Menge sein soll (Abgeschlossenheit), ist bereits in der Definition der inneren Verknüpfung enthalten.

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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