Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Im Jahr 1903 zeigt Bertrand Russell durch seine berühmte Antimonien, dass eine uneingeschränkte Mengenbildung, wie sie die Cantorsche Mengenlehre erlaubt, zu Widersprüchen führt. Ein Weg zur besseren Fundierung der Mengenlehre ist das von Zermelo und Fraenkel entwickelte Axiomensystem, die sogenannte Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF).
Wird zu dieser das Auswahlaxiom hinzugefügt, so spricht man von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) (das C steht hierbei für "choice", das englische Wort für Auswahl).
 
 

Sprache und Symbole

Variable für Mengen

a,b,c,…a, b, c, \dots, x,y,z,… x, y, z, \dots

Logische Symbole

≠\neq (Negation), ∧\and (Konjunktion, "und"), ∨\or (Disjunktion, "oder"),   ⟹  \implies (Implikation, "wenn ... dann"),   ⟺  \iff (genau dann ... wenn), ∀\forall (Allquantor, für alle), ∃\exists (Existenzquantor, es gibt)

Grundprädikate

a=ba = b (Gleichheit), a∈ba \in b (Elementbeziehung)

Axiome

Extensionalitätsaxiom (ExtZF)

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.
∀x(x∈a  ⟺  x  ⟹  b)  ⟹  a=b\forall x (x \in a \iff x \implies b ) \implies a = b (ExtZF)

Nullmengenaxiom: (NullZF)

Dieses Axiom postuliert die Existenz der leeren Menge.
∃y∀x(x∉y)\exists y \forall x ( x \notin y ).

Paarmengenaxiom: (PaarZF)

Zu zwei Mengen aa und bb existiert die Menge {a,b}\{a,b\}.
∃y∀x(x∈y  ⟺  x=a∨x=b)\exists y \forall x ( x \in y \iff x = a \or x = b ).

Summenaxiom: (SumZF)

Ist aa eine Menge, so ist ∪a\cup a ebenfalls eine Menge.
∀a∃y∀z(z∈y  ⟺  ∃x∈a:z∈x)\forall a\exists y \forall z (z \in y \iff \exists x \in a : z \in x ).

Potenzmengenaxiom: (PotZF)

Dieses Axiom stellt sicher, dass die Potenzmengen existieren
∀a∃y∀z(z∈y  ⟺  z⊆a)\forall a\exists y \forall z (z \in y \iff z \subseteq a ).

Ersetzungsschema: (ErsSZF)

∀x∀y∀z(φ(x,y)∧φ(x,z)  ⟹  y=z)\forall x\forall y\forall z (\phi(x,y) \and \phi(x,z) \implies y = z )   ⟹  ∃u∀y(y∈u  ⟹  ∃x∈a:φ(x,y)) \implies\exists u \forall y (y \in u \implies\exists x \in a :\phi(x,y))

Unendlichkeitsaxiom: (UnZF)

Postuliet die Existenz einer unendlichen Menge.
∃x(∅∈x∧∀y(y∈x  ⟹  y+1∈x)\exists x ( \OO \in x \and \forall y (y \in x \implies y+1 \in x)

Fundierungsaxiom: (FundZF)

Jede nichtleere Menge aa enthält ein Element xx, das zu aa disjunkt ist.
a≠Ø  ⟹  ∃x∈a:x∩a=∅a \neq Ø \implies \exists x \in a : x \cap a = \OO.

Auswahlaxiom: (ACZF)

∀x∈a:x∉∅  ⟹  ∃f:(Fkt(f)∧∀x∈a:f(x)∈x)\forall x\in a : x\notin \OO \implies\exists f : (Fkt(f) \and\forall x\in a : f(x)\in x ).

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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