Konjunktion
Die
Konjunktion wird auch
logisches Und genannt und wird mit dem Symbol
∧ bezeichnet. Umgangssprachlich ist diese
Verknüpfung war, wenn beide Teilaussagen wahr sind. Die folgende Wertetabelle zeigt ihre genaue Definition.
| a |
b |
a∧b |
| 0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
Der Tabelle ist sofort zu entnehmen, warum wir vom logischen Und sprechen. Die
1 für wahr steht nur in der Zeile, in der auch die beiden Aussagen
a und
b mit
1 belegt waren. Eine
Konjunktion ist sofort falsch, wenn ein Teil falsch ist.
Für die Konjunktion gelten folgende Gesetze:
Satz 162D (Eigenschaften der Konjunktion)
- a∧b=b∧a (Kommutativität)
- a∧(b∧c)=(a∧b)∧c (Assoziativität)
- a∧a=a
- a∧1=a; a∧0=0
Beweis
Die Gültigkeit der Behauptungen (bis auf (ii)) kann man sofort der obigen Wertetabelle entnehmen.
Für den Beweis der Assoziativität führen wir eine Fallunterscheidung durch, wobei wir auf die schon bewiesenen Resultate zurückgreifen.
Fall 1,
a=0:
0∧(b∧c)=0 und
(0∧b)∧c=0∧c=0 Fall 2,
a=1:
1∧(b∧c)=b∧c und
(1∧b)∧c=b∧c □ Multiplikation
Die Eigenschaften aus Satz 162D zeigen auch, dass die
Konjunktion allen Eigenschaften genügt, die man gemeinhin von der
Multiplikation erwartet. Man schreibt daher auch
a⋅b=a∧b insbesondere wenn man zusammen mit der
Kontravalenz einen algebraischen Körper der Form
(0,1,+,⋅) bildet.
Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.
Leopold Kronecker
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