Konjunktion

Die Konjunktion wird auch logisches Und genannt und wird mit dem Symbol \(\displaystyle \and\) bezeichnet. Umgangssprachlich ist diese Verknüpfung war, wenn beide Teilaussagen wahr sind. Die folgende Wertetabelle zeigt ihre genaue Definition.
\(\displaystyle a\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle a \wedge b\)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Der Tabelle ist sofort zu entnehmen, warum wir vom logischen Und sprechen. Die \(\displaystyle 1\) für wahr steht nur in der Zeile, in der auch die beiden Aussagen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) mit \(\displaystyle 1\) belegt waren. Eine Konjunktion ist sofort falsch, wenn ein Teil falsch ist.
Für die Konjunktion gelten folgende Gesetze:
 
 

Satz 162D (Eigenschaften der Konjunktion)

  1. \(\displaystyle a\wedge b=b\wedge a\) (Kommutativität)
  2. \(\displaystyle a\wedge (b \wedge c) = (a\wedge b) \wedge c\) (Assoziativität)
  3. \(\displaystyle a\wedge a=a\)
  4. \(\displaystyle a\wedge 1=a\); \(\displaystyle a\wedge 0=0\)

Beweis

Die Gültigkeit der Behauptungen (bis auf (ii)) kann man sofort der obigen Wertetabelle entnehmen.
Für den Beweis der Assoziativität führen wir eine Fallunterscheidung durch, wobei wir auf die schon bewiesenen Resultate zurückgreifen.
Fall 1, \(\displaystyle a=0\): \(\displaystyle 0\and (b\and c)=0\) und \(\displaystyle (0\and b)\and c=0\and c=0\)
Fall 2, \(\displaystyle a=1\): \(\displaystyle 1\and (b\and c)=b\and c\) und \(\displaystyle (1\and b)\and c=b\and c\) \(\displaystyle \qed\)

Multiplikation

Die Eigenschaften aus Satz 162D zeigen auch, dass die Konjunktion allen Eigenschaften genügt, die man gemeinhin von der Multiplikation erwartet. Man schreibt daher auch \(\displaystyle a\cdot b=a \and b\) insbesondere wenn man zusammen mit der Kontravalenz einen algebraischen Körper der Form \(\displaystyle (0,1,+,\cdot)\) bildet.

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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