Disjunktion

Unter der Disjunktion (Adjunktion)\(\displaystyle \vee\) versteht man das logische Oder. Es ist wahr wenn von zwei Aussagen wenigstens eine Aussage wahr ist; dies schließt explizit mit ein, dass beide Aussagen wahr sind.
\(\displaystyle a\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle a \vee b\)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Für Adjunktion wird teilweise auch noch die Bezeichnung Disjunktion benutzt, wobei damit manchmal jedoch auch die Kontravalenz bezeichnet werden. Wenn wir von Oder sprechen meinen wir immer die Adjunktion - das inklusive Oder.
Für die Adjunktion gelten zur Konjunktion analoge Gesetze:
 
 

Satz 162E (Eigenschaften der Adjunktion)

  1. \(\displaystyle a\vee b=b\vee a\) (Kommutativität)
  2. \(\displaystyle a\vee (b \vee c) = (a\vee b) \vee c\) (Assoziativität)
  3. \(\displaystyle a\vee a=a\)
  4. \(\displaystyle a\vee 1=1\); \(\displaystyle a\vee 0=a\)

Beweis

Bis auf die Assoziativität ergeben sich die Behauptungen direkt aus der Wertetabelle. Den Beweis der Assoziativität kann man analog zur Assoziativität der Konjunktion über Fallunterscheidung führen. \(\displaystyle \qed\)
Bei Ausdrücken mit \(\displaystyle \neg\), \(\displaystyle \wedge\) und \(\displaystyle \vee\) bindet \(\displaystyle \neg\) stärker als \(\displaystyle \wedge\) und \(\displaystyle \wedge\) stärker als \(\displaystyle \vee\). Hiebei handelt es sich um eine Konvention, da von den Eigenschaften kein Unterschied zwischen logischen Oder und Konjunktion besteht.
z.B.: \(\displaystyle \neg a \vee b \wedge c=(\neg a) \vee (b \wedge c)\)
Im Zweifelsfall und für eine bessere Übersicht sollte man die Klammern für \(\displaystyle \wedge\) und \(\displaystyle \vee\) aber setzen.

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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