Beziehungen zwischen Konjunktion, Adjunktion und Negation

Die Gültigkeit gleichartiger Eigenschaften für Konjunktion und Adjunktion (Satz 162D und Satz 162E) wird als Dualität bezeichnet und äußert sich darin, das in den meisten Gesetzen \(\displaystyle \and\) und \(\displaystyle \or\) ausgetauscht werden können und diese dennoch gültig bleiben. Dieses Prinzip gilt auch für die folgenden Distributivgesetze und die DeMorganschen Regeln.
 
 

Satz 162F (Distributivität von Konjunktion und Adjunktion)

Die Junktoren \(\displaystyle \wedge\) und \(\displaystyle \vee\) sind zueinander distributiv; es gelten also die beiden Distributivgesetze:
\(\displaystyle a\wedge (b\vee c)= (a\wedge b) \vee (a\wedge c)\) und
\(\displaystyle a\vee (b\wedge c)= (a\vee b) \wedge (a\vee c)\).

Beweis

Den Beweis führen wir über Fallunterscheidung.
Sei \(\displaystyle a=1\). Dann vereinfacht sich \(\displaystyle a\wedge (b\vee c)= (a\wedge b) \vee (a\wedge c)\) zu \(\displaystyle b\vee c=b\vee c\), was offensichtlich richtig ist.
Wenn \(\displaystyle a=0\), dann ist die linke Seite \(\displaystyle 0\). Die rechte Seite ergibt mit \(\displaystyle (0 \wedge b) \vee (0\wedge c)=0\vee 0\) aber auch 0.
Die zweite Beziehung zeigt man analog. \(\displaystyle \qed\)
Die nächste Frage, die zu klären ist, betrifft das Zusammenspiel von Konjunktion und Adjunktion.

Satz 162G (DeMorgansche Regeln)

(1)
\(\displaystyle \neg (a \vee b)=\neg a \wedge \neg b\)
(2)
\(\displaystyle \neg (a \wedge b)=\neg a \vee \neg b\)
Diese Regeln erlauben es, wahlweise die Konjunktion durch Negation und Adjunktion auszudrücken und die Adjunktion durch die Negation und Konjunktion.

Beweis

Zuerst stellen wir fest, dass die beiden DeMorganschen Regeln sind nicht unabhängig voneinander sind. Wendet man (1) auf \(\displaystyle \not a\) und \(\displaystyle \not b\) an, erhält man: \(\displaystyle \not(\not a \or\not b)=\not\not a\and\not\not b= a\and b\) und nach Negation beider Seiten ergibt sich (2). Analog kann man aus (2) auch (1) herleiten. Damit brauchen wir nur die Gültigkeit einer Regel zu zeigen, die Gültigkeit der anderen ergibt sich dann sofort.
Wir beweisen (1) durch Fallunterscheidung unter Benutzung von Satz 162D und Satz 162E.
\(\displaystyle a=0\): \(\displaystyle \not(a\or b)=\not (0\or b)=\not b\) und \(\displaystyle \not a\and\not b=1\and\not b=\not b\)
\(\displaystyle a=1\): \(\displaystyle \not(a\or b)=\not (1\or b)=\not 1=0\) und \(\displaystyle \not a\and\not b=0\and\not b=0\) \(\displaystyle \qed\)

Satz 162H (Absorptionsgesetze)

\(\displaystyle a \and (a \or b)= a \or (a \and b) =a\)

Beweis

Auch diese beiden Gesetze sind nicht unabhängig voneinander. Durch Anwendung des entsprechenden Distributivgesetzes können sie ineinander überführt werden.
Wir führen den Beweis von \(\displaystyle a \and (a \or b)=a\) mittels Fallunterscheidung:
\(\displaystyle a=0\): \(\displaystyle a \and (a \or b)=0\and(\ldots)=0=a\).
\(\displaystyle a=1\): \(\displaystyle a \and (a \or b)=1\and(1\or b)=(1\or b)=1=a\). \(\displaystyle \qed\)

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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