Kontravalenz

Ein anderer Name für die Kontravalenz ist auch exklusives Oder, womit beschrieben wird, dass der Werteverlauf dem des Logischen Oder entspricht, dass jedoch die Konjunktion ausgeschlossen wird.
Umgangssprachlich wird die Kontravalenz als "entweder ... oder ..." formuliert.
\(\displaystyle a\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle a + b\)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Die Bezeichnung \(\displaystyle +\) ist dadurch gerechtfertigt, dass der Werteverlauf gerade durch die Addition im Boolschen Körper bestehend aus \(\displaystyle 0\) und \(\displaystyle 1\) widergespiegelt wird.
Der Wertetabelle entnimmt man sofort: \(\displaystyle a+b = \not(a\iff b)\).
 
 

Satz 162N (Eigenschaften der Kontravalenz)

  1. \(\displaystyle a+b=b+a\) (Kommutativität)
  2. \(\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)\) (Assoziativität)
  3. \(\displaystyle a+a=0\)
  4. \(\displaystyle a+0=a\); \(\displaystyle a+1=\not a\)
  5. \(\displaystyle a\and (b+c)=a\and b+a\and c\) (Distributivität mit der Konjunktion)

Beweis

Bis auf die Assoziativität und Distributivität ergeben sich die restlichen Behauptungen durch einen Blick in die Wahrheitswertetabelle. Die Assoziativität kann durch Aufstellen einer entsprechenden Wertetabelle bzw. über eine Fallunterscheidung beweisen werden. Hier beweisen wir nur die Distributivität.
(v) Fall \(\displaystyle a=0\): \(\displaystyle 0\and (b+c)=0\) und \(\displaystyle 0\and b+0\and c=0\and 0=0\).
Fall \(\displaystyle a=1\): \(\displaystyle 1\and (b+c)=b+c\) und \(\displaystyle 1\and b+1\and c=b\and c\). \(\displaystyle \qed\)

Satz 162O (Boolscher Körper)

Die Wahrheitswerte \(\displaystyle 0\) und \(\displaystyle 1\) bilden mit der Kontravalenz als Addition und der Konjunktion als Multiplikation einen kommutativen Körper, den so genannten Boolschen Körper.

Beweis

Folgt direkt aus den Eigenschaften von Konjunktion (Satz 162D) und Kontravalenz (Satz 162N). \(\displaystyle \qed\)
Bei Rechnungen im Boolschen Körper schreibt man für die Konjunktion üblicherweise \(\displaystyle \cdot\) statt \(\displaystyle \and\).
Man kann Adjunktion und Negation durch Konjunktion und Kontravalenz ausdrücken:
\(\displaystyle \not a=1+a\)
\(\displaystyle a\or b=ab+a +b\)

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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