Implikation

Die Implikation \(\displaystyle \implies \) beschreibt aussagenlogisch das, was man umgangssprachlich mit "Wenn ... dann ..." formuliert.
\(\displaystyle a\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle a \implies b\)
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Umgangssprachlich formuliert kann man folgern was man will, solange man nicht aus etwas wahrem etwas falsches folgert. Anfängern bereitet vor Allem die Beziehung \(\displaystyle 0\follows 1 = 1\) Probleme.
 
 

Satz 5909A (Eigenschaften der Implikation)

  1. \(\displaystyle 0\follows a = 1\) \(\displaystyle a\follows 1 =1\) \(\displaystyle 1\follows a =a\) \(\displaystyle a\follows 0 = \not a\)
  2. \(\displaystyle a \implies b = \neg a \vee b\). Die Implikation kann man mit den anderen Junktoren darstellen, sie liefert so gesehen keine neue Operation.
  3. Abtrennungsregeln \(\displaystyle (a\and (a\implies b))\implies b=1\) \(\displaystyle (\not b \and (a\implies b))\implies \not a =1\)
  4. Prinzip des indirekten Beweises \(\displaystyle (a\implies b)=(\not b \implies \not a)\)
  5. Kettenschluss \(\displaystyle ((a \implies b) \and (b \implies c) ) \implies (a \implies c)=1\)

Bemerkungen

(i) \(\displaystyle 0\follows a = 1\) ist auch unter der lateinischen Bezeichnung "e falso quod libet").
(iii) Die Abtrennungsregel trägt den lateinischen Namen "Modus ponens".
(iv) Diese Regel wird in indirekten Beweisen in der folgenden Form verwandt. Man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und führt dies durch eine Reihe von Folgerungen zum Widerspruch.

Beweis

(i) und (ii) kann man unmittelbar aus der Wertetabelle entnehmen.
(iv) \(\displaystyle a\implies b = \not a \or b\) und \(\displaystyle \not b\implies \not a=\not\not b\or \not a=\not a \or b\).
(iii) Beweis durch Fallunterscheidung:
Für \(\displaystyle a=0\) ergibt sich: \(\displaystyle (0\and (0\implies b))\implies b\) \(\displaystyle =(0\and 1)\implies b=0\implies b=1\).
Für \(\displaystyle a=1\) ergibt sich: \(\displaystyle (1\and (1\implies b))\implies b\) \(\displaystyle =(1\implies b)\implies b\) \(\displaystyle =b\implies b=1\).
Die zweite Abtrennungsregel kann man durch Substitution \(\displaystyle a\rightarrow \not b\) auf die Erste zurückführen, wobei man auf das unter (iv) Bewiesene zurückgreift.
(v) Beweis durch Fallunterscheidung:
Fall 1 (\(\displaystyle a=0\)): \(\displaystyle ((0\implies b)\and (b\implies c))\implies (0\implies c)\) \(\displaystyle =(1\and (b\implies c))\implies 1=\) wegen (i) \(\displaystyle a\follows 1 =1\).
Fall 2 (\(\displaystyle a=1\)): \(\displaystyle ((1\implies b)\and (b\implies c))\implies (1\implies c)\) \(\displaystyle =(b\and (b\implies c))\implies c\), und Letzteres ist die unter (iii) bewiesene Abtrennungsregel.

Satz 5909B (Weitere Eigenschaften der Implikation)

  1. \(\displaystyle a\follows (a\follows b)=a\follows b\)
  2. \(\displaystyle (a\follows b) \follows a=a\follows b\)
  3. \(\displaystyle (a\follows b) \follows b=a\or b\)
  4. \(\displaystyle (a\follows c) \and (b \follows c) = (a \or b) \follows c\)
  5. \(\displaystyle a\implies b = a\iff a\and b\)

Beweis

Hat man unter Benutzung der Definitionen oder durch Fallunterscheidung schnell nachgerechnet\(\displaystyle \qed\)

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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