Logische Äquivalenz

Die Äquivalenz \(\displaystyle \iff \) beschreibt aussagenlogisch das, was man umgangssprachlich mit "genau dann, wenn" formuliert. Wir definieren die Äquivalenz als Implikation, deren Umkehrung auch gilt: \(\displaystyle a \iff b := (a \follows b) \and (b \follows a)\)
Für diese Definition ergibt sich die folgende Wertetabelle:
\(\displaystyle a\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle a \iff b\)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Sie nimmt nur dann den Wert 0 an, wenn \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) verschieden sind.
Die Äquivalenz im logischen Sinne ist gleichwertig mit der funktionalen Gleichheit wie sie hier benutzt wird. Es gilt also \(\displaystyle (a\iff b) = (a=b)\) oder \(\displaystyle (a\iff b) \iff (a=b)\). Man überzeugt sich auch leicht, dass der Name Äquivalenz berechtigt ist und die Operation einer Äquivalenzrelation entspricht; dabei sind die Äquivalenzklassen gerade die wahren Aussagen (Tautologien) und die falschen Aussagen.
Die Äquivalenz ist assoziativ: \(\displaystyle (a\iff b) \iff c = a\iff (b\iff c)\).
Durch Umformen der Definition erhalten wir: \(\displaystyle a\iff b = (a \follows b) \and (b\follows a)\) \(\displaystyle =\) \(\displaystyle (\neg a \or b) \and (a \or \neg b)=\) \(\displaystyle (a\and b) \or (\not a \and \not b)\).
Es gilt \(\displaystyle a\iff 1=a\) und \(\displaystyle a\iff 0= \not a\)
Wir geben noch eine Identität an, die oft beim Beweis von zueinander äquivalenten Aussagen verwendet wird: \(\displaystyle (a \iff b) \and (b\iff c) = (a \follows b) \and (b\follows c) \and (c \follows a)\). Das bedeutet nichts anderes, als dass man mehrfache Äquivalenzen durch einen so genannten Ringschluss, eine Folgerungskette, die wieder zum Anfang zurückkehrt, beweisen kann.
Die Äquivalenz ist von der Implikation zu unterscheiden. Bei einer ungenauen Sprechweise wird oft ein einfaches "wenn" verwendet, auch wenn "genau dann, wenn" gemeint ist. Zum Beispiel: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. Gemeint ist natürlich: Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent , wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen; denn aus der Übereinstimmung in den Seiten folgt auch die Kongruenz.
 
 

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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