Tautologien

Unter einer Tautologie versteht man eine Verknüpfung von Wahrheitswerten, die immer den Wert \(\displaystyle 1\) annimmt; also selbst wahr ist.
\(\displaystyle a \vee 1\) ist eine einfache Tautologie.

Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten

Dieses Prinzip besagt umgangssprachlich, dass immer eine Aussage oder ihre Verneinung wahr ist.
\(\displaystyle a \vee \neg a\)

Abtrennungsregel (Modus ponens)

\(\displaystyle (a \and (a \follows b)) \follows b\)
 
 

Beweis

Die Gültigkeit überprüft man am einfachsten mit einer Fallunterscheidung nach \(\displaystyle a\).
\(\displaystyle a=0\): \(\displaystyle 0\implies b=1\).
\(\displaystyle a=1\): \(\displaystyle (1\and (1\implies b))\implies b\) \(\displaystyle =(1\implies b)\implies b\) \(\displaystyle =b\implies b=1\). \(\displaystyle \qed\)

Kettenschluss

\(\displaystyle ((a \follows b) \and (b \follows c)) \follows (a \follows c)\)
Umgangssprachlich: Wenn wir \(\displaystyle b\) aus \(\displaystyle a\) folgern können und \(\displaystyle c\) aus \(\displaystyle b\), dann können wir auch \(\displaystyle c\) aus \(\displaystyle a\) folgern.
Beispiel: Jedes Quadrat ist ein Rechteck und jedes Rechteck ist ein Viereck, dann wissen wir mit dem Kettenschluss auch, dass jedes Quadrat ein Viereck ist.
Den Beweis führen wir oder Fallunterscheidung. Sei \(\displaystyle a= 0\). Dann vereinfacht sich die Beziehung zu \(\displaystyle ((0 \follows b) \and (b \follows c)) \follows (0 \follows c)=\) \(\displaystyle (1 \and (b \follows c)) \follows 1=1\). Wenn \(\displaystyle a=1\) dann \(\displaystyle ((1 \follows b) \and (b \follows c)) \follows (1 \follows c)=\) \(\displaystyle (b \and (b \follows c)) \follows c\). Das ist aber wieder der Modus ponens, den wir schon für wahr befunden haben.

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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