Tautologien

Unter einer Tautologie versteht man eine Verknüpfung von Wahrheitswerten, die immer den Wert 11 annimmt; also selbst wahr ist.
a∨1a \vee 1 ist eine einfache Tautologie.

Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten

Dieses Prinzip besagt umgangssprachlich, dass immer eine Aussage oder ihre Verneinung wahr ist.
a∨¬aa \vee \neg a

Abtrennungsregel (Modus ponens)

(a∧(a  ⟹  b))  ⟹  b(a \and (a \follows b)) \follows b

Beweis

Die Gültigkeit überprüft man am einfachsten mit einer Fallunterscheidung nach aa.
a=0a=0: 0  ⟹  b=10\implies b=1.
a=1a=1: (1∧(1  ⟹  b))  ⟹  b(1\and (1\implies b))\implies b =(1  ⟹  b)  ⟹  b=(1\implies b)\implies b =b  ⟹  b=1=b\implies b=1. □\qed

Kettenschluss

((a  ⟹  b)∧(b  ⟹  c))  ⟹  (a  ⟹  c)((a \follows b) \and (b \follows c)) \follows (a \follows c)
Umgangssprachlich: Wenn wir bb aus aa folgern können und cc aus bb, dann können wir auch cc aus aa folgern.
Beispiel: Jedes Quadrat ist ein Rechteck und jedes Rechteck ist ein Viereck, dann wissen wir mit dem Kettenschluss auch, dass jedes Quadrat ein Viereck ist.
Den Beweis führen wir oder Fallunterscheidung. Sei a=0a= 0. Dann vereinfacht sich die Beziehung zu ((0  ⟹  b)∧(b  ⟹  c))  ⟹  (0  ⟹  c)=((0 \follows b) \and (b \follows c)) \follows (0 \follows c)= (1∧(b  ⟹  c))  ⟹  1=1(1 \and (b \follows c)) \follows 1=1. Wenn a=1a=1 dann ((1  ⟹  b)∧(b  ⟹  c))  ⟹  (1  ⟹  c)=((1 \follows b) \and (b \follows c)) \follows (1 \follows c)= (b∧(b  ⟹  c))  ⟹  c(b \and (b \follows c)) \follows c. Das ist aber wieder der Modus ponens, den wir schon für wahr befunden haben.
 
 

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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