Addition

Die Addition (v. lat. addere = hinzufügen) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Unter Addieren versteht man das "Zusammenzählen" beim Rechnen.
Das Zeichen für die Addition ist das Pluszeichen "+". Zum Beispiel: \(\displaystyle 2 + 3 = 5\) wird gelesen als "zwei plus drei gleich fünf" bzw. "zwei und drei ergibt fünf".
Die zwei oder mehr Zahlen, die addiert werden, heißen Summanden; das Ergebnis heißt Summe.
Es gelten folgende elementare Rechengesetze für beliebige Zahlen\(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) und \(\displaystyle z\):
  1. Assoziativgesetz (der Addition): \(\displaystyle (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z\)
  2. Kommutativgesetz (der Addition): \(\displaystyle x + y = y + x\)
  3. Das neutrale Element ist \(\displaystyle 0\): \(\displaystyle x + 0 = x\)
  4. Das inverse Element zu \(\displaystyle x\) ist \(\displaystyle -x\)
Das Gegenteil der Addition ist die Subtraktion (Abziehen). Sie wird oft als Addition mit einer negativen Zahl aufgefasst. Um beliebig addieren und subtrahieren zu können, muss man die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitern.
 
 

Addition in verschiedenen Zahlenbereichen

Die Addition kann ohne Ausnahme innerhalb der Mengen der natürlichen Zahlen , der ganzen Zahlen , der rationalen Zahlen und der reellen Zahlen ausgeführt werden. Auch andere Mengen, wie die der komplexen Zahlen besitzen eine Verknüpfung, die als Addition bezeichnet wird, weil sie denselben formalen Rechenregeln genügt.
Addition nennt man eine Reihe mathematischer Verknüpfungen, die alle die folgenden Eigenschaften haben:
  • Sie sind assoziativ und kommutativ
  • Sie erfüllen zusammen mit einer Multiplikation das Distributivgesetz
In den meisten Fällen ergibt die Addition zusammen mit ihrer Definitionsmenge eine abelsche Gruppe. Wichtigste Ausnahme ist die Addition auf den natürlichen Zahlen, wegen der, wie oben erwähnt, fehlenden Inversen (negative Zahlen).

Schriftliche Addition

Die Schriftliche Addition ist eine der grundlegenden Kulturtechniken, die bereits in den ersten Schuljahren erlernt wird. In dem heutzutage vorherrschenden Stellenwertsystem sind dabei nur zwei Teiltechniken zu erlernen: Die Addition einstelliger Zahlen und das Handhaben der Überträge.

Verfahren

Die zu addierenden Zahlen werden so untereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen. Die Zahlen werden also rechtsbündig angeordnet. Nun beginnt man, indem man nur die letzten Ziffern der Zahlen addiert und von diesem Zwischenergebnis die letzte Ziffer als Einerstelle des Endergebnisses notiert. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so werden die anderen Stellen in die weitere Addition mit einbezogen.
Nun wird die vorletzte Ziffer unter Berücksichtigung der Zehnerstelle des vorherigen Zwischenergebnisses aufaddiert. Wieder wird die letzte Ziffer des neuen Zwischenergebnisses als Zehnerstelle des Endergebnisses vermerkt und ein Übertrag gebildet.
Dieser Vorgang wird solange nach links fortschreitend fortgeführt, bis die vorderste Stelle erreicht ist.

Weitere Notationsmöglichkeiten

Summen können auch mittels des Summensymbols \(\displaystyle \Sigma\) (nach dem großen griechischen Buchstaben Sigma) notiert werden.
\(\displaystyle \sum\limits_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} + \, \, \, + x_{n-1} + x_n \)

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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