Positionssysteme

Ein Positionssystem (auch Stellenwertsystem genannt) ist ein Zahlensystem, das mit wenigen Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt) große Zahlen darstellt. In diesem Zusammenhang wird auch oft von der \(\displaystyle b\)-adischen Darstellung von Zahlen gesprochen, wobei die Variable \(\displaystyle b\) für die Anzahl der Ziffern steht. Der Wert von \(\displaystyle b\) wird in diesem Zusammenhang auch oft als Basis oder Grundzahl bezeichnet.
Beispiele für Stellenwertsysteme sind das im Alltag gewöhnlich gebrauchte Dezimalsystem (dekadisches System mit der Grundzahl 10), das Dualsystem (dyadisches System mit der Grundzahl 2) und das Hexadezimalsystem (hexadekadisches System mit der Grundzahl 16). Ein Beispiel für ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, ist das der römischen Ziffern. Es handelt sich dabei um ein Additionssystem.
 
 

Ziffern

Die \(\displaystyle b\)-adische Darstellung einer Zahl verwendet genau \(\displaystyle b\) verschiedene Ziffern (wobei \(\displaystyle b\) hier für eine beliebige natürliche Zahl größer als 1 steht). Jeder dieser \(\displaystyle b\) Ziffern wird eindeutig eine der Zahlen von 0 bis \(\displaystyle b\)-1 zugeordnet. Zur Unterscheidung sind im Folgenden Ziffersymbole stets fett gedruckt, ihre zugehörigen Zahlenwerte normal gedruckt.

Beispiele

  • Im Dualsystem mit \(\displaystyle b\) = 2 werden gewöhnlich die Ziffern 0 und 1 verwendet und ihnen die Zahlen 0 und 1 zugeordnet.
  • Im Dezimalsystem ist \(\displaystyle b\) = 10 und es werden gewöhnlich die 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 verwendet und diesen (in dieser Reihenfolge) die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zugeordnet.
Für \(\displaystyle b<10\) werden gewöhnlich die ersten \(\displaystyle b\) Ziffern wie im Dezimalsystem verwendet. Für \(\displaystyle b > 10\) werden gewöhnlich ebenfalls die Ziffern des Dezimalsystems und als neue, zusätzliche Ziffern die ersten Buchstaben des Alphabets verwendet.
  • Im Hexadezimalsystem mit \(\displaystyle b = 16\) werden also zusätzlich die Ziffern A, B, C, D, E und F gebraucht und diesen (wieder in dieser Reihenfolge) die Zahlen 10, 11, 12, 13, 14 und 15 zugeordnet.

Verallgemeinerung

Die Basis \(\displaystyle b\) muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Grundzahlen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth, The Art of Computer Programming.
Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler und reeller Zahlen nicht. Wird zum Beispiel der Goldene Schnitt t = (1+v5)/2 als Basis verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form \(\displaystyle r\)+\(\displaystyle s\)v5 mit rationalen r, \(\displaystyle s\) dar (dagegen hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung).
Genau wie man die reellen Zahlen über nach rechts unendliche Dezimalbrüche definieren kann, ist es möglich, formal mit nach links unendlichen \(\displaystyle b\)-adischen "Zahlen" zu rechnen. Ist \(\displaystyle b\) = \(\displaystyle p\) eine Primzahl, erhält man den Körper der \(\displaystyle p\)-adischen Zahlen.

Darstellung von Zahlen

Darstellung natürlicher Zahlen

Natürliche Zahlen werden in der \(\displaystyle b\)-adischen Darstellung durch eine beliebige (endliche) Folge
\(\displaystyle \mathbf a_0, \mathbf a_1, \mathbf a_2, \ldots, \mathbf a_n\)
von Ziffern dargestellt. Jedes \(\displaystyle \mathbf a_i\) steht hier also für eine Ziffer. Üblicherweise wird die Folge aber nicht wie eben gezeigt von links nach rechts und durch Komma getrennt, sondern von rechts nach links und ohne Komma dargestellt, also:
\(\displaystyle \mathbf a_n \ldots \mathbf a_2 \mathbf a_1 \mathbf a_0\)
Der Folge wird nun die Zahl
\(\displaystyle \sum\limits_{i=0} ^{n} a_i \cdot b^i = a_0 + a_1 \cdot b + a_2 \cdot b^2 + \, \, \, + a_n \cdot b^n\)
zugeordnet.
Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl \(\displaystyle x\) eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Wert \(\displaystyle x\) ist. Im allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu beliebig oft die Ziffer 0 =0 anzuhängen (das heißt in der üblichen Schreibweise voranstellen). Werden Folgen verboten, die mit der Ziffer 0 enden (in der üblichen Schreibweise also solche mit führender 0), so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl \(\displaystyle x\) existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert \(\displaystyle x\) ist. Entgegen diesem Verbot wird der Zahl 0 nicht die leere Folge (also die endliche Folge ohne einem einzigen Folgenglied) zugeordnet, sondern die Folge, die aus genau einem Folgenglied besteht, nämlich der Ziffer, der der Wert 0 zugeordnet wird (üblicherweise also 0), um diese Zahl überhaupt darstellen zu können.
Als Beispiel betrachten wir die Ziffernfolge 4C3 im Hexadezimalsystem (\(\displaystyle b = 16\)). \(\displaystyle a_{0}\) ist hier 3, \(\displaystyle a_{1}\) ist hier C und \(\displaystyle a_{2}\) ist 4. Ferner ist 3 = 3, C = 12 und 4 = 4. Also repräsentiert die Folge 4C3 die Zahl
\(\displaystyle a_0 + a_1 \cdot b + a_2 \cdot b^2 = 3 + 12 \cdot 16 + 4 \cdot 16^2 = 3 + 192 + 1024 = 1219\, \)
Entsprechend repräsentiert die Folge 1010011 im Dualsystem (\(\displaystyle b\) = 2) die Zahl
\(\displaystyle 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^6 = 1 + 2 + 16 + 64 = 83\).
Im Dezimalsystem (\(\displaystyle b\) = 10) steht 3072 für:
\(\displaystyle 2 + 7 \cdot 10 + 0 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^3 = 3072\).

Darstellung ganzer Zahlen

Ganze Zahlen werden wie natürliche Zahlen durch endliche Ziffernfolgen dargestellt, mit dem Unterschied, dass negativen Zahlen ein Minuszeichen (üblicherweise "-") als Symbol vorangestellt wird. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden üblicherweise als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben. In solchen Fällen wird in der Darstellung ein Pluszeichen (üblicherweise "+") vorangestellt.

Darstellung rationaler Zahlen

Auch rationale Zahlen lassen sich \(\displaystyle b\)-adisch darstellen. Wie im Dezimalsystem wird hierbei mit einem Trennzeichen der ganzzahlige vom gebrochenen Teil abgetrennt (im deutschsprachigen Raum üblicherweise ",", im englischsprachigen Raum üblicherweise "."). Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit \(\displaystyle b^{-i}\) multipliziert, wobei \(\displaystyle i\) die Position hinter dem Komma angibt.
Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge 1,011 dargestellt. In der Tat ist
\(\displaystyle 1\cdot 2^0 + 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3} = 1 + 0/2 + 1/4 + 1/8 = 1+3/8\, \)
Es kann dabei vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche, aber periodische Folge von Nachkommastellen benötigt wird. Gewöhnlich wird diese Periode dann durch eine über die periodischen Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so eine endliche Darstellung möglich.
Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Symbolfolge 0,2 hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:
\(\displaystyle \mathbf{0,00110011\ldots} = \mathbf{0,\overline{0011}},\)
Dagegen bezeichnet die Ziffernfolge 0,1 im 3-adischen (triadischen) System die rationale Zahl \(\displaystyle 1·3^{-1} = \dfrac 1 3\), die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge entspricht.
Allgemein gilt, dass ein gekürzter Bruch genau dann eine nicht periodische \(\displaystyle b\)-adische Darstellung hat, wenn alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von \(\displaystyle b\) sind. (Für eine nicht periodische Darstellung im Dezimalsystem muss der gekürzte Nenner also das Produkt von Zweien und Fünfen sein.)
Wichtig ist es an dieser Stelle, zu erkennen, dass die Zifferndarstellung mancher rationaler Zahlen nicht mehr eindeutig ist. So bezeichnen die Ziffernfolgen 1, 1,0 und 0,999... im Dezimalsystem dieselbe rationale (sogar natürliche) Zahl 1. Während die ersten beiden Darstellungen sofort als gleichwertig erkennbar vergleiche man Beispiel 164Y, für den Nachweis der dritten Darstellung.
Dieses Phänomen tritt bei jeder Basis \(\displaystyle b\) auf, denn falls n die Ziffer mit dem Wert \(\displaystyle b\)-1 bezeichnet, dann hat die Ziffernfolge
\(\displaystyle \mathbf{0,nnn\, \, \, }=\mathbf{0,\overline{n}}\)
den Wert 1.

Darstellung reeller Zahlen

Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch \(\displaystyle b\)-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.
Die \(\displaystyle b\)-adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie \(\displaystyle \pi\) oder \(\displaystyle \sqrt{2}\)) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Allerdings kann sich mit endlichen Dezimalbrüchen dieser Zahl beliebig angenähert werden, indem die Zahl der Nachkommastellen entsprechend vergrößert wird.
Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge, ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele \(\displaystyle \pi\) und \(\displaystyle \sqrt{2}\) geschehen ist.
Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichen Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.
Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei der \(\displaystyle b\)-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher) \(\displaystyle b\)-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.

Fomeln für Ziffern und Operationen mit Ziffern

Die letzte Ziffer der \(\displaystyle b\)-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl \(\displaystyle n\) ist der Rest von \(\displaystyle n\) bei Division durch \(\displaystyle b\). Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck
\(\displaystyle n-b\brFloor{\dfrac nb}\)
gegeben; dabei bezeichnet \(\displaystyle \lfloor\) die Gaußklammer. Allgemeiner ist die durch die letzten \(\displaystyle k\) Ziffern von \(\displaystyle n\) gebildete Zahl der Rest von \(\displaystyle n\) bei Division durch \(\displaystyle b^{k}\).
Die \(\displaystyle k\)-te Ziffer (von rechts mit null beginnend gezählt) einer positiven reellen Zahl \(\displaystyle x\) ist
\(\displaystyle \brFloor{\dfrac x{b^k}}-b\brFloor{\dfrac x{b^{k+1}}}\);
für negative \(\displaystyle k\) ergibt sich die entsprechende Nachkommastelle.
Die Anzahl der Ziffern der \(\displaystyle b\)-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl \(\displaystyle n\) ist
\(\displaystyle \brFloor{\log_bn}+1\, \)
Hängt man an eine Zahl \(\displaystyle n\) in \(\displaystyle b\)-adischer Darstellung eine Ziffer \(\displaystyle z\) an, so erhält man die \(\displaystyle b\)-adische Darstellung der Zahl \(\displaystyle bn + z \).

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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