Überabzählbar unendlich

Nicht abzählbar unendliche Mengen heißen überabzählbar.

Satz 15XD (Überabzählbarkeit der reellen Zahlen)

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar unendlich.

Beweis

Nehmen wir an, die reellen Zahlen wären abzählbar, dann wären sicher auch die Zahlen im Intervall \(\displaystyle [0,1]\) abzählbar unendlich.
Nehmen wir an, wir hätten eine Abzählung in Dezimalbruchschreibweise:
\(\displaystyle r_1=0,r_{11}r_{12}r_{13}r_{14}\ldots\)
\(\displaystyle r_2=0,r_{21}r_{22}r_{23}r_{24}\ldots\)
\(\displaystyle r_3=0,r_{31}r_{32}r_{33}r_{34}\ldots\)
: :
\(\displaystyle r_n=0,r_{n1}r_{n2}r_{n3}r_{n4}\ldots\)
: :
Jetzt konstruieren wir eine reelle Zahl \(\displaystyle s\in [0,1]\), die nicht in der obigen Aufzählung vorkommen kann.
Wenn \(\displaystyle s=0,s_1s_2s_3s_4\ldots\) in Dezimalschreibweise gegeben ist, dann soll \(\displaystyle s_i=(r_{ii}+1) \mod 10\) sein.
Mit dieser Definition gilt \(\displaystyle s_i\neq r_{ii}\) für alle \(\displaystyle i\) und damit \(\displaystyle s\neq r_n\) für alle \(\displaystyle n\) im Widerspruch dazu, dass wir eine Aufzählung hatten.
Das hier benutzte Verfahren heißt 2. Cantorsches Diagonalverfahren. \(\displaystyle \qed\)
 
 

Satz 16HT

Sei \(\displaystyle U\) überabzählbar und \(\displaystyle A\) abzählbar, dann ist \(\displaystyle U\setminus A\) überabzählbar.
Von einer überabzählbaren Menge kann also eine beliebige abzählbare Menge abgezogen werden, ohne dass dies die Überabzählbarkeit beeinfluss. Die überabzählbare Unendlichkeit ist tatsächlich eine qualitativ andere Art der Unendlichkeit als die abzählbare Unendlichkeit.

Beweis

Sei \(\displaystyle U\setminus A\) abzählbar. Dann ist nach Satz 16HS \(\displaystyle U=(U\setminus A)\cup A\) abzählbar. Widerspruch. \(\displaystyle \qed\)

Folgerung 16HR

Da die rationalen Zahlen nach Satz 15XC abzählbar sind, bedeutet dies, dass bereits die irrationalen Zahlen überabzählbar sind.

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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