Überabzählbar unendlich

Nicht abzählbar unendliche Mengen heißen überabzählbar.

Satz 15XD (Überabzählbarkeit der reellen Zahlen)

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar unendlich.

Beweis

Nehmen wir an, die reellen Zahlen wären abzählbar, dann wären sicher auch die Zahlen im Intervall [0,1][0,1] abzählbar unendlich.
Nehmen wir an, wir hätten eine Abzählung in Dezimalbruchschreibweise:
r1=0,r11r12r13r14…r_1=0,r_{11}r_{12}r_{13}r_{14}\ldots
r2=0,r21r22r23r24…r_2=0,r_{21}r_{22}r_{23}r_{24}\ldots
r3=0,r31r32r33r34…r_3=0,r_{31}r_{32}r_{33}r_{34}\ldots
: :
rn=0,rn1rn2rn3rn4…r_n=0,r_{n1}r_{n2}r_{n3}r_{n4}\ldots
: :
Jetzt konstruieren wir eine reelle Zahl s∈[0,1]s\in [0,1], die nicht in der obigen Aufzählung vorkommen kann.
Wenn s=0,s1s2s3s4…s=0,s_1s_2s_3s_4\ldots in Dezimalschreibweise gegeben ist, dann soll si=(rii+1)mod  10s_i=(r_{ii}+1) \mod 10 sein.
Mit dieser Definition gilt si≠riis_i\neq r_{ii} für alle ii und damit s≠rns\neq r_n für alle nn im Widerspruch dazu, dass wir eine Aufzählung hatten.
Das hier benutzte Verfahren heißt 2. Cantorsches Diagonalverfahren. □\qed

Satz 16HT

Sei UU überabzählbar und AA abzählbar, dann ist U∖AU\setminus A überabzählbar.
Von einer überabzählbaren Menge kann also eine beliebige abzählbare Menge abgezogen werden, ohne dass dies die Überabzählbarkeit beeinfluss. Die überabzählbare Unendlichkeit ist tatsächlich eine qualitativ andere Art der Unendlichkeit als die abzählbare Unendlichkeit.

Beweis

Sei U∖AU\setminus A abzählbar. Dann ist nach Satz 16HS U=(U∖A)∪AU=(U\setminus A)\cup A abzählbar. Widerspruch. □\qed

Folgerung 16HR

Da die rationalen Zahlen nach Satz 15XC abzählbar sind, bedeutet dies, dass bereits die irrationalen Zahlen überabzählbar sind.
 
 

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Mengenlehre