Reelle Zahlen

Klassischer Aufbau der Zahlenbereiche

In der Schulmathematik werden die Zahlenbereiche intuitiv eingeführt. Dabei wird mit den natürlichen Zahlen begonnen, diese leiten sich aus der unmittelbaren Erfahrungswelt des Zählens ab. Später stellt sich heraus, dass den natürlichen Zahlen gewisse "Mängel" anhaften. So lassen sich die Gleichungen
(1)
\(\displaystyle x+2=1\)
und
(2)
\(\displaystyle x\cdot 2=1\)
nicht in den natürlichen Zahlen lösen. Die beiden Gleichungen zeigen, dass sowohl die Addition als auch die Multiplikation nicht uneingeschränkt ausführbar sind.
Um Gleichungen der Form (2) lösen zu können, werden die natürlichen Zahlen zu den gebrochenen Zahlen erweitert. Das Problem mit Gleichung (1) wird durch die Einführung der ganzen Zahlen behoben.
Es stellt sich dann jedoch schnell heraus, dass die beiden so neu gewonnenen Zahlenbereiche noch "Mängel" haben. In den gebrochenen Zahlen kann man nicht uneingeschränkt Subtrahieren und die Division bereitet in den ganzen Zahlen Probleme. Beide Probleme kann man durch Einführung der rationalen Zahlen aus der Welt schaffen.
Mit den rationalen Zahlen hat die Erweiterung einen wunderbaren Abschluss gefunden, da man es mit einem Körper im algebraischen Sinn zu tun hat. Man könnte jetzt tief durchatmen, und sich zurücklehnen, wenn es nicht noch einige Schönheitsfehler gäbe. Die einfache algebraische Gleichung
(3)
\(\displaystyle x^2=2\)
lässt sich nicht in den rationalen Zahlen lösen (siehe Beispiel 5225H).
Man muss den nächsten Schritt tun, um das Problem aus der Welt zu schaffen und gelangt schließlich zu den reellen Zahlen.
 
 

Zahlengerade

Alle Zahlenbereiche kann man sich auf der so genannten Zahlengerade veranschaulichen. Dabei handelt es sich um eine Gerade, deren Punkte den einzelnen Zahlenbereichen zugeordnet werden.
Für die natürlichen Zahlen legt man einen Punkt als \(\displaystyle 0\) fest und trägt in weiteren, gleich bleibenden Schritten in eine Richtung die folgenden natürlichen Zahlen ab.
Die ganzen Zahlen erhält man, indem man dieses Verfahren in die andere Richtung fortsetzt.
Die rationalen Zahlen sind diejenigen Punkte, die man über ganzzahlige Verhältnisse konstruieren kann.
Während die Zahlengerade für die ganzen Zahlen sehr löchrig aussieht, erscheint sie für die rationalen Zahlen ziemlich dicht. Wir können keine Löcher mehr erkennen. Dennoch gibt es sie, denn man kann geometrisch sehr wohl \(\displaystyle \sqrt{2}\) konstruieren.
Diese Löcher werden durch die reellen Zahlen aufgefüllt.

Axiomatik

Den oben skizzierten Weg kann man auch axiomatisch formulieren. Man geht dabei von einem Axiomensystem für die natürlichen Zahlen (etwa dem von Peano) aus. Damit kann die Arithmetik der natürlichen Zahlen begründet werden. Die einzelnen Zahlenbereichserweiterungen, wie sie oben beschrieben wurden, kann man formalisieren. Beim Übergang von den rationalen zu den reellen Zahlen bedient man sich dann Hilfskonstruktionen, die den Dedekindschen Schnitten.
Eine andere Möglichkeit der Axiomatisierung besteht darin, die reellen Zahlen selbst als Ausgangspunkt zu nehmen und die anderen Zahlenbereiche als Teilmengen zu definieren. Dieser Weg wird hier beschritten. Auf der nächsten Seite wird ein Axiomensystem für die reellen Zahlen eingeführt.

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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