Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik, in dem Operationen der höheren Mathematik selbst als mathematische Objekte aufgefasst und untersucht werden. Die Funktionalanalysis führt die Begriffe
Beispiele:
Grundbegriffe der Analysis wie Stetigkeit, Ableitungen usw. werden in der Funktionalanalysis auf Funktionale und Operatoren erweitert. Gegenstücke der Operatoren in der funktionalen Programmierung sind die Funktionen höherer Ordnung.
Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis liegen im Studium der Fourier-Transformation (und ähnlicher Transformationen) und der Untersuchung von Differential- und Integralgleichungen. Der Wortbestandteil "funktional" geht zurück auf die Variationsrechnung.
 
 

Normierte Räume

Aus moderner Sicht besteht die Funktionalanalysis aus dem Studium normierter vollständiger Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen. Solche Räume heißen Banachräume. Ein wichtiges Beispiel sind Hilberträume, bei denen die Norm von einem Skalarprodukt erzeugt wird. Diese Räume sind von grundlegender Bedeutung für die mathematische Formulierung der Quantenmechanik. Etwas allgemeiner werden in der Funktionalanalysis auch Fréchet-Räume und andere topologische Vektorräume untersucht, die keine Norm haben.
Ein wichtiger Untersuchungsgegenstand sind stetige lineare Operatoren auf Banach- oder Hilbert-Räumen.
Hilberträume können vollständig klassifiziert werden: Für jede Mächtigkeit einer Basis existiert (bis auf Isomorphie) genau ein Hilbertraum zu einem Körper. Da endlich-dimensionale Hilberträume von der linearen Algebra erfasst werden und jeder Morphismus zwischen Hilberträumen zerlegt werden kann in Morphismen von Hilberträumen der Dimension \(\displaystyle \aleph_0\) (Aleph Null, siehe Abzählbarkeit), betrachtet man in der Funktionalanalysis hauptsächlich den Hilbertraum der Dimension Aleph Null und seine Morphismen. Dies ist der Raum \(\displaystyle \ell^2\) aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.
Banachräume sind dagegen viel komplexer. Es gibt zum Beispiel keine praktisch nutzbare allgemeine Definition einer Basis (z.B. ist eine Basis hier meist nicht-konstruktiv, lässt sich also nicht explizit angeben).
Für jede reelle Zahl \(\displaystyle p\) ≥ 1 gibt es den Banachraum "aller Lebesgue-messbaren Funktionen, deren p-te Potenz des Betrags ein endliches Integral hat" (siehe Lp-Raum).
Beim Studium von Banachräumen ist die Untersuchung des Dualraumes ein wichtiger Teil. Der Dualraum besteht aus allen stetigen linearen Funktionen vom Banachraum in die reellen (oder komplexen) Zahlen. Wie in der linearen Algebra muss auch hier der Dualraum des Dualraums nicht isomorph zum ursprünglichen Raum sein, aber es gibt stets einen Monomorphismus von einem Raum in das Dual seines Dualraums.
Der Begriff der Ableitung lässt sich auf Funktionen zwischen Banachräumen so verallgemeinern, dass die Ableitung in einem Punkt eine stetige lineare Abbildung ist.

Literatur

  • Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6th edition, 1980
  • Schechter, M.: Principles of Functional Analysis, AMS, 2nd edition, 2001
  • Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, 2nd edition, Elsevier Science, 2005, ISBN 0444517901
  • Dunford, N. and Schwartz, J.T. : Linear Operators, General Theory, and other 3 volumes, includes visualization charts
  • Brezis, H.: Analyse Fonctionnelle, Dunod
  • Sobolev, S.L.: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963
  • Lebedev, L.P. and Vorovich, I.I.: Functional Anlysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002
  • Alt, H.W.: Lineare Funktionalanalysis, Springer-Verlag, 2002

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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