Lineare Operatoren zwischen normierten Räumen

Seien EE, FF normierte Räume. Eine lineare Abbildung (linearer Operator) A:E→FA:E\rightarrow F heißt beschränkt, genau dann wenn:
∃M≥0 ∀x∈E:∣∣Ax∣∣F≤M∣∣x∣∣E\exists M\geq 0 \, \forall x\in E: ||Ax||_F \leq M||x||_E.
Für lineare Operatoren sind stetig und beschränkt äquivalente Begriffe:

Satz 16KE

Sei A:E→FA:E\to F ein linearer Operator zwischen den normierten Räumen EE und FF. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  1. A ist stetig
  2. A ist in x0x_0 stetig
  3. A ist beschränkt
 
 

Beweis

(ii)  ⟹  \implies (i): Sei AA in x0x_0 stetig, also
∀ϵ>0 ∃δ>0 ∀x∈E:∣∣x−x0∣∣<δ  ⟹  ∣∣Ax−Ax0∣∣<ϵ\forall \epsilon>0\, \exists \delta >0\, \forall x\in E: ||x-x_0||<\delta \implies ||Ax-Ax_0||<\epsilon.
Sei x∈Ex\in E beliebig und xx so gewählt, dass ∣∣x−x1∣∣<δ||x-x_1||<\delta. Dann gilt ∣∣Ax−Ax1∣∣||Ax-Ax_1||=∣∣A(x−x1+x0)−Ax0∣∣<ϵ =||A(x-x_1+x_0)-Ax_0||<\epsilon. Damit ist AA auch in x1x_1 stetig.
(iii)  ⟹  \implies (ii): AA beschränkt bedeutet nichts anderes, als das AA in 00 stetig ist (also überall nach dem gerade Bewiesen).
(i)  ⟹  \implies (iii): AA sei stetig, also auch in 00 stetig. Dann gibt es für ϵ=1\epsilon=1 ein δ\delta, so dass ∀x∈E:∣∣x∣∣<δ  ⟹  ∣∣Ax∣∣<1\forall x\in E: ||x||<\delta \implies ||Ax||<1. Sei x≠0x\neq 0 beliebig und x0:=δ2∣∣x∣∣x x_0:=\dfrac \delta {2||x||}x\, Dann gilt ∣∣x0∣∣=δ2<δ||x_0||=\dfrac\delta 2<\delta, also ∣∣Ax0∣∣<1||Ax_0||<1 und es folgt: ∣∣Ax∣∣=2∣∣x∣∣δ∣∣ax0∣∣<2δ∣∣x0∣∣||Ax||=\dfrac {2||x||}\delta||ax_0||<\dfrac 2 \delta ||x_0||. □\qed

Vektorraum der beschränkten linearen Operatoren

Die Menge aller beschränkten linearen Operatoren L(E,F):={A:E→F ∣ A\mathcal{L}(E,F):=\{A:E\rightarrow F\, |\, A beschränkt } \} ist ein Vektorraum. Durch ∣∣A∣∣:=sup⁡∣∣x∣∣E≤1∣∣Ax∣∣F||A||:=\sup_{||x||_E\leq 1} ||Ax||_F wird auf L(E,F)\mathcal{L}(E,F) eine Norm (Operatornorm) erklärt und (L(E,F),∣∣⋅∣∣)(\mathcal{L}(E,F),||\cdot||) ist ein normierter Raum.
Ferner gilt: ∀x∈E:∣∣Ax∣∣F≤∣∣A∣∣⋅∣∣x∣∣E\forall x\in E:||Ax||_F\leq ||A||\cdot ||x||_E. Denn für x≠0x\neq 0: ∣∣A(x∣∣x∣∣)∣∣≤∣∣A∣∣ ||A\left(\dfrac{x}{||x||}\right)|| \leq ||A|| und ∣∣Ax1∣∣x∣∣∣∣=1∣∣x∣∣∣∣Ax∣∣ ||Ax\dfrac{1}{||x||}|| = \dfrac{1}{||x||}||Ax||⇒∣∣Ax∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣x∣∣ \Rightarrow ||Ax||\leq ||A||\cdot||x||. Bei der Komposition (Hintereinanderausführung) von Operatoren A∈L(E,F)A\in\mathcal{L}(E,F) und B∈L(F,G)B\in\mathcal{L}(F,G) ist B∘A∈L(E,G)B\circ A\in\mathcal{L}(E,G) und es gilt ∣∣BA∣∣≤∣∣B∣∣⋅∣∣A∣∣||BA||\leq ||B||\cdot ||A||.

Satz 16KF

Seien EE und FF normierte Räume und EE endlichdimensional (dim⁡E<∞\dim E<\infty). Dann ist jede lineare Abbildung A:E→FA:E\rightarrow F stetig und beschränkt.

Beweis

Wir zeigen, dass eine beliebige lineare Abbildung AA beschränkt ist, nach Satz 16KE ist sie dann auch stetig. Sei n:=dim⁡En:=\dim E und x1,…,xn∈Ex_1,\dots,x_n\in E eine Basis von EE . Dann gilt für alle x∈Ex\in E: ∃α1,…,αn∈K\exists \alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{K} mit x=∑i=1nαixix=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i. ∣∣x∣∣0=∑1n∣αi∣ ||x||_0=\sum\limits_1^n |\alpha_i| ist nach Satz 16KB eine zu ∣∣⋅∣∣||\cdot|| äquivalente Norm. Somit ∣∣Ax∣∣=∣∣A(∑1nαixi)∣∣F\left|\left|Ax\right|\right| = \left||A\left(\sum\limits_1^n \alpha_i x_i\right)\right||_F=∣∣∑1nαiAxi∣∣F =\left||\sum\limits_1^n \alpha_i Ax_i\right||_F≤∑1n∣αi∣⋅∣∣Axi∣∣ \leq \sum\limits_1^n |\alpha_i| \cdot ||Ax_i||≤max⁡1≤i≤n∣∣Axi∣∣∑1n∣αi∣ \leq \max_{1\leq i\leq n} ||Ax_i||\sum\limits_1^n |\alpha_i|≤(cmax⁡1≤i≤n∣∣Axi∣∣)∣∣x∣∣ \leq (c\max_{1\leq i\leq n} ||Ax_i||)||x|| ⇒A\Rightarrow A beschränkt, d.h. AA ist stetig. □\qed

Satz 16KG

Sei EE ein normierter Raum und FF ein Banachraum. Dann ist der Raum der beschränkten linearen Operatoren L(E,F)\mathcal{L}(E,F) bezüglich der Operatornorm ein Banachraum.

Beweisskizze

Die Cauchyfolge (An)(A_n) konvergiert punktweise gegen AxAx und aus der Cauchy-Bedingung kann man für die Operatornorm die Konvergenzbedingung ableiten und so zeigen, dass (An)→Ax(A_n)\to Ax bzgl. der Operatornorm. □\qed

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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