Hintereinanderausführung und Umkehrung von Abbildungen

Hintereinanderausführung von Abbildungen

Seien \(\displaystyle f:X\to Y\) und \(\displaystyle g:Y\to Z\) zwei Abbildungen. Wir definieren die Hintereinanderausführung, Komponentenweise oder Verkettung \(\displaystyle g\circ f\)
\(\displaystyle (g\circ f)(x)\eqdef g(f(x))\)
für alle \(\displaystyle x\in X\). Man beachte, dass \(\displaystyle g\circ f\) nur für die \(\displaystyle x\) definiert ist, für die sowohl \(\displaystyle x\) ein Bild unter \(\displaystyle f\) besitzt als auch \(\displaystyle f(x)\) unter \(\displaystyle g\). Für den Definitionsbereich gilt dann \(\displaystyle D_{g\circ f}=D_g(D_f)\).
Ferner ist das Symbol \(\displaystyle \circ\) an die Multiplikation angelehnt, jedoch wird der "rechte Faktor" zuerst ausgeführt im Gegensatz zur Standardmultiplikation, wo man von links nach rechts multipliziert.
 
 

Umkehrung von Abbildungen

Betrachtet man \(\displaystyle f\subseteq X\cross Y\) als Teilmenge der Produktmenge, so lässt sich die Umkehrung \(\displaystyle f\, ^\me \subseteq Y\cross X\) einfach als \(\displaystyle f\, ^\me=\{(y,x)| y=f(x)\}\) definieren.Mit dieser Definition muss \(\displaystyle f\, ^\me\) jedoch keine Abbildung sein, da \(\displaystyle f\) mehrdeutige Urbilder besitzen kann.
Sei nun \(\displaystyle A\subseteq X\) eine Teilmenge, die so gewählt ist, dass \(\displaystyle f:A\to Y\) injektiv ist. Dann ist \(\displaystyle f\, ^\me \subseteq Y\cross A\) eine Funktion und wir können \(\displaystyle x=f\, ^\me(y)\) für \(\displaystyle y\in Y\) schreiben.

Satz A89F (Hintereinanderausführung und Umkehrung von Abbildungen)

Seien \(\displaystyle f:X\to Y\) und \(\displaystyle g:Y\to Z\) zwei umkehrbare Abbildungen. Dann existiert die Umkehrung der Hintereinanderausführung \(\displaystyle g\circ f\) und es gilt:
\(\displaystyle (g\circ f)^\me= f\, ^\me\circ g^\me\).

Beweis

Die Umkehrbarkeit von Abbildung ist gleichbedeutend mit der Injektivität und nach Satz 16LM ist \(\displaystyle g\circ f\) injektiv also umkehrbar.Nun gilt für beliebiges \(\displaystyle x\in X\) und \(\displaystyle z\in Z\): \(\displaystyle x=(g\circ f)^\me(z) \iff z=(g\circ f)(x)\) \(\displaystyle \iff z=g(f(x))\) \(\displaystyle \iff x=f\, ^\me(g^\me(z))\) \(\displaystyle \iff x=(f\, ^\me\circ g^\me)(z)\). \(\displaystyle \qed\)

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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