Hintereinanderausführung und Umkehrung von Abbildungen

Hintereinanderausführung von Abbildungen

Seien f:X→Yf:X\to Y und g:Y→Zg:Y\to Z zwei Abbildungen. Wir definieren die Hintereinanderausführung, Komponentenweise oder Verkettung g∘fg\circ f
(g∘f)(x):=g(f(x))(g\circ f)(x)\eqdef g(f(x))
für alle x∈Xx\in X. Man beachte, dass g∘fg\circ f nur für die xx definiert ist, für die sowohl xx ein Bild unter ff besitzt als auch f(x)f(x) unter gg. Für den Definitionsbereich gilt dann Dg∘f=Dg(Df)D_{g\circ f}=D_g(D_f).
Ferner ist das Symbol ∘\circ an die Multiplikation angelehnt, jedoch wird der "rechte Faktor" zuerst ausgeführt im Gegensatz zur Standardmultiplikation, wo man von links nach rechts multipliziert.
 
 

Umkehrung von Abbildungen

Betrachtet man f⊆X×Yf\subseteq X\cross Y als Teilmenge der Produktmenge, so lässt sich die Umkehrung f −1⊆Y×Xf\, ^\me \subseteq Y\cross X einfach als f −1={(y,x)∣y=f(x)}f\, ^\me=\{(y,x)| y=f(x)\} definieren. Mit dieser Definition muss f −1f\, ^\me jedoch keine Abbildung sein, da ff mehrdeutige Urbilder besitzen kann.
Sei nun A⊆XA\subseteq X eine Teilmenge, die so gewählt ist, dass f:A→Yf:A\to Y injektiv ist. Dann ist f −1⊆Y×Af\, ^\me \subseteq Y\cross A eine Funktion und wir können x=f −1(y)x=f\, ^\me(y) für y∈Yy\in Y schreiben.

Satz A89F (Hintereinanderausführung und Umkehrung von Abbildungen)

Seien f:X→Yf:X\to Y und g:Y→Zg:Y\to Z zwei umkehrbare Abbildungen. Dann existiert die Umkehrung der Hintereinanderausführung g∘fg\circ f und es gilt:
(g∘f)−1=f −1∘g−1(g\circ f)^\me= f\, ^\me\circ g^\me.

Beweis

Die Umkehrbarkeit von Abbildung ist gleichbedeutend mit der Injektivität und nach Satz 16LM ist g∘fg\circ f injektiv also umkehrbar. Nun gilt für beliebiges x∈Xx\in X und z∈Zz\in Z: x=(g∘f)−1(z)  ⟺  z=(g∘f)(x)x=(g\circ f)^\me(z) \iff z=(g\circ f)(x)   ⟺  z=g(f(x))\iff z=g(f(x))   ⟺  x=f −1(g−1(z))\iff x=f\, ^\me(g^\me(z))   ⟺  x=(f −1∘g−1)(z)\iff x=(f\, ^\me\circ g^\me)(z). □\qed

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Stephen Hawking

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