Involutionen

Unter einer Involution versteht man eine selbstinverse Abbildung.

Definition

Eine Abbildung f:AAf:A\rightarrow A heißt Involution, wenn für alle xAx\in A gilt: f(f(x))=xf(f(x))=x, wenn also für ff gilt ff=idAf\circ f = \operatorname{id}_A (idA\operatorname{id}_A ist die identische Abbildung auf AA).

Beispiele

In der Geometrie sind Spiegelungen die typischen Vertreter für Involutionen
xx x\mapsto -x für xRx\in \R
ist wegen (x)=x-(-x)=x eine Involution.
Ebenso ist der Kehrwert
x1x x\mapsto\dfrac1x für xR{0}x\in\R\setminus \{ 0\}
eine Involution wegen 11/x=x\dfrac1{1/x}=x für alle x0x\ne0\,
 
 

Satz C86B (Involutionen als Bijektionen)

Jede Involution ist bijektiv.

Beweis

Injektivität: f(a)=f(b)f(a)=f(b)     f(f(a))=f(f(b))\implies f(f(a))=f(f(b))     a=b\implies a=b. Surjektivität: Sei aAa\in A, dann ist f(a)f(a) ein Urbild von aa, wegen f(f(a))=af(f(a))=a. \qed

Weitere Beispiele für Involutionen

Gruppeninverse

Ist GG eine Gruppe, so ist die Abbildung ggg\mapsto -g (bei additiver Schreibweise) bzw. gg1g\mapsto g^{-1} (bei multiplikativer Schreibweise) eine Involution.

Komplexe Konjugation

Die komplexe Konjugation zzz\mapto \overline z ist wegen z=z\overlineII {z}=z (Satz 5228C) eine Involution.

Transponieren von Matrizen

Sei Mat(n×n,K)\Mat(n\cross n, K) die Menge der quadratischen Matrizen über einem Körper KK. Dann ist das Transponieren
t:Mat(n×n,K)Mat(n×n,K)\cdot^t: \Mat(n\cross n, K)\rightarrow \Mat(n\cross n, K)
eine Involution (Satz 15XT).

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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