Involutionen

Unter einer Involution versteht man eine selbstinverse Abbildung.

Definition

Eine Abbildung f:A→Af:A\rightarrow A heißt Involution, wenn für alle x∈Ax\in A gilt: f(f(x))=xf(f(x))=x, wenn also für ff gilt f∘f=id⁡Af\circ f = \operatorname{id}_A (id⁡A\operatorname{id}_A ist die identische Abbildung auf AA).

Beispiele

In der Geometrie sind Spiegelungen die typischen Vertreter für Involutionen
Die Abbildung
x↦−x x\mapsto -x für x∈Rx\in \R
ist wegen −(−x)=x-(-x)=x eine Involution.
Ebenso ist der Kehrwert
x↦1x x\mapsto\dfrac1x für x∈R∖{0}x\in\R\setminus \{ 0\}
eine Involution wegen 11/x=x\dfrac1{1/x}=x für alle x≠0 x\ne0\,
 
 

Satz C86B (Involutionen als Bijektionen)

Jede Involution ist bijektiv.

Beweis

Injektivität: f(a)=f(b)f(a)=f(b)   ⟹  f(f(a))=f(f(b))\implies f(f(a))=f(f(b))   ⟹  a=b\implies a=b. Surjektivität: Sei a∈Aa\in A, dann ist f(a)f(a) ein Urbild von aa, wegen f(f(a))=af(f(a))=a. □\qed

Weitere Beispiele für Involutionen

Gruppeninverse

Ist GG eine Gruppe, so ist die Abbildung g↦−gg\mapsto -g (bei additiver Schreibweise) bzw. g↦g−1g\mapsto g^{-1} (bei multiplikativer Schreibweise) eine Involution.

Komplexe Konjugation

Die komplexe Konjugation z↦z‾z\mapto \overline z ist wegen z‾‾=z\overlineII {z}=z (Satz 5228C) eine Involution.

Transponieren von Matrizen

Sei Mat(n×n,K)\Mat(n\cross n, K) die Menge der quadratischen Matrizen über einem Körper KK. Dann ist das Transponieren
⋅t:Mat(n×n,K)→Mat(n×n,K)\cdot^t: \Mat(n\cross n, K)\rightarrow \Mat(n\cross n, K)
eine Involution (Satz 15XT).

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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