Injektive Abbildungen

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Eine Abbildung \(\displaystyle f:A \rightarrow B\), deren Umkehrung \(\displaystyle f^{-1}\) wieder eindeutig ist, nennt man eineindeutig oder umkehrbar eindeutig oder injektiv. Bei einer injektiven Abbildung gibt es zu jedem Element \(\displaystyle b\in B\) höchstens ein Element \(\displaystyle a\in A\) mit \(\displaystyle b=f(a)\).
\(\displaystyle f\) injektiv \(\displaystyle \iff \forall x_1,x_2: f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2\)
Eine äquivalente Formulierung ist \(\displaystyle x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2)\).
Die Injektivität fordert nicht, dass alle Elemente aus \(\displaystyle B\) als Bilder vorkommen müssen. (Dann wäre die Funktion surjektiv).
Die nebenstehende Grafik verdeutlicht das Wesen der Injektivität. Zu keinem Wert aus \(\displaystyle B\) gehen zwei Pfeile.
Die Bezeichnung umkehrbar eindeutig drückt aus, dass die Umkehrung einer injektiven Abbildung \(\displaystyle f\) wieder eine Abbildung ist. Diese heißt Umkehrabbildung und wird mit \(\displaystyle f^\me\) bezeichnet. Wenn \(\displaystyle f\) nicht injektiv ist, muss die Umkehrung nicht eindeutig sein und damit keine Abbildung.
 
 

Beispiele

Die lineare Funktion \(\displaystyle f_1(x)=x\) ist injektiv auf \(\displaystyle \domR\).
Die quadratische Funktion \(\displaystyle f_2(x)=x^2\) ist nicht injektiv auf \(\displaystyle \domR\), denn jedem \(\displaystyle x\) wird der gleiche Funktionswert wie \(\displaystyle \uminus x\) zugeordnet. Schränkt man den Definitionsbereich von \(\displaystyle f_2\) auf das Intervall \(\displaystyle [0,\infty[\) ein, so ist die Funktion auf diesem Intervall injektiv.

Eigenschaften

Die Injektivität einer Funktion \(\displaystyle f\colon A \to B\) hängt nur vom Funktionsgraphen \(\displaystyle \{(x, f(x)) \mid x \in A\}\) abhängt (im Gegensatz zur Surjektivität, die auch von der Bildmenge \(\displaystyle B\) abhängt, die man am Funktionsgraphen nicht ablesen kann).Eine Funktion \(\displaystyle f\colon A \to B\) ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen \(\displaystyle X, Y \subseteq A\) gilt: \(\displaystyle f(X \cap Y)=f(X) \cap f(Y)\) (Satz 5212B)Eine Funktion \(\displaystyle f\colon A \to B\) ist genau dann injektiv, wenn \(\displaystyle f^{-1}(f(T))=T\) für alle \(\displaystyle T \subseteq A\) gilt.Sind die Funktionen \(\displaystyle f\colon A \to B\) und \(\displaystyle g\colon B \to C\) injektiv, dann ist auch die Komposition (Verkettung) \(\displaystyle g \circ f\colon A \to C\) injektiv.
Aus der Injektivität von \(\displaystyle g \circ f\) folgt, dass \(\displaystyle f\) injektiv ist.
Eine Funktion \(\displaystyle f\colon A \to B\) mit nichtleerer Definitionsmenge \(\displaystyle A\) ist genau dann injektiv, wenn \(\displaystyle f\) eine Linksinverse hat, das ist eine Funktion \(\displaystyle g\colon B \to A\) mit \(\displaystyle g \circ f = \operatorname{id}_A\) (wobei \(\displaystyle \operatorname{id}_A\) die identische Abbildung auf \(\displaystyle A\) bezeichnet).
Eine Funktion \(\displaystyle f\colon A \to B\) ist genau dann injektiv, wenn sie linkskürzbar ist, wenn also für beliebige Funktionen \(\displaystyle g, h\colon C \to A\) aus \(\displaystyle f \circ g = f \circ h\) die Gleichheit \(\displaystyle g = h\) folgt.
Jede beliebige Funktion \(\displaystyle f\colon A \to B\) ist als Verkettung \(\displaystyle f = h \circ g\) darstellbar, wobei \(\displaystyle g\) surjektiv und \(\displaystyle h\) injektiv (nämlich eine Inklusionsabbildung) ist.
Eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem ganzen Definitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist.
Die Injektivität hängt vom Definitionsbereich der Funktion ab.

Anzahl injektiver Abbildungen

Die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer Definitionsmenge \(\displaystyle A\) in eine gegebene endliche Zielmenge \(\displaystyle B\) mit der Eigenschaft \(\displaystyle |B| \geq |A|\) ist gegeben durch:
\(\displaystyle |B|\cdot (|B|-1) \cdot \ldots \cdot (|B|-|A|+1) \)\(\displaystyle = \frac{|B|!}{(|B|-|A|)!} \)\(\displaystyle = |A|! \cdot \binom{|B|}{|A|}\)
Dies entspricht in der Kombinatorik einer Variation ohne Wiederholung.

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

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