Konjugiert komplexe Zahlen

Sei z=x+iyz=x+\i y eine komplexe Zahl, dann versteht man unter der zu zz konjugiert komplexen Zahl die Zahl z=xiy\overline z=x-\i y.

Satz 5228C (Eigenschaften konjugiert komplexer Zahlen)

Seien z=x+iyz=x+\i y , z1z_1 und z2z_2 komplexe Zahlen, dann gilt
  1. z=z\overlineII {z}=z
  2. z=z    zR\overline {z}=z\iff z\in\dom R
  3. z1±z2=z1±z2\overlineI {z_1 \pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}
    z1z2=z1z2\overlineI {z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}
    (z1z2)=z1z2\overline {\braceNT{\dfrac { z_1}{z_2}\, }}=\dfrac{ \overline{z_1}} {\overline{z_2}}
  4. zz=x2+y2z\cdot \overline {z}=x^2+y^2
 
 

Beweis

Die Beziehungen hat man schnell nachgerechnet. \qed

Real- und Imaginärteil

Sei z=x+iyz=x+\i y eine komplexe Zahl, dann heißt xx der Realteil (z)=x\Re(z)=x und y der Imaginärteil (z)=y\Im(z)=y. Realteil und Imaginärteil sind reelle Zahlen ((z),(z)R\Re(z),\Im(z)\in\domR).

Satz 5228D (Eigenschaften von Real- und Imaginärteil)

Sei zz eine komplexe Zahl, dann gilt:
(z)=12(z+z)\Re(z)=\dfrac 1 2 \, (z + \overline{z}) und (z)=12i(zz)\Im(z)=\dfrac 1 {2\i} \, (z - \overline{z})

Beweis

12(z+z)=12(x+iy+xiy)=x\dfrac 1 2 \, (z + \overline{z}) = \dfrac 1 2 \, (x+\i y+x-\i y)=x. 12i(zz)\dfrac 1 {2\i} \, (z - \overline{z}) =12i(x+iy(xiy))=y=\dfrac 1 {2\i}(x+\i y-(x-\i y))=y. \qed

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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