Konjugiert komplexe Zahlen

Sei \(\displaystyle z=x+\i y\) eine komplexe Zahl, dann versteht man unter der zu \(\displaystyle z\) konjugiert komplexen Zahl die Zahl \(\displaystyle \overline z=x-\i y\).

Satz 5228C (Eigenschaften konjugiert komplexer Zahlen)

Seien \(\displaystyle z=x+\i y\) , \(\displaystyle z_1\) und \(\displaystyle z_2\) komplexe Zahlen, dann gilt
  1. \(\displaystyle \overlineII {z}=z\)
  2. \(\displaystyle \overline {z}=z\iff z\in\dom R\)
  3. \(\displaystyle \overlineI {z_1 \pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\)
    \(\displaystyle \overlineI {z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)
    \(\displaystyle \overline {\braceNT{\dfrac { z_1}{z_2}\, }}=\dfrac{ \overline{z_1}} {\overline{z_2}}\)
  4. \(\displaystyle z\cdot \overline {z}=x^2+y^2\)
 
 

Beweis

Die Beziehungen hat man schnell nachgerechnet. \(\displaystyle \qed\)

Real- und Imaginärteil

Sei \(\displaystyle z=x+\i y\) eine komplexe Zahl, dann heißt \(\displaystyle x\) der Realteil \(\displaystyle \Re(z)=x\) und y der Imaginärteil \(\displaystyle \Im(z)=y\). Realteil und Imaginärteil sind reelle Zahlen (\(\displaystyle \Re(z),\Im(z)\in\domR\)).

Satz 5228D (Eigenschaften von Real- und Imaginärteil)

Sei \(\displaystyle z\) eine komplexe Zahl, dann gilt:
\(\displaystyle \Re(z)=\dfrac 1 2 \, (z + \overline{z}) \) und \(\displaystyle \Im(z)=\dfrac 1 {2\i} \, (z - \overline{z}) \)

Beweis

\(\displaystyle \dfrac 1 2 \, (z + \overline{z}) = \dfrac 1 2 \, (x+\i y+x-\i y)=x\).\(\displaystyle \dfrac 1 {2\i} \, (z - \overline{z})\) \(\displaystyle =\dfrac 1 {2\i}(x+\i y-(x-\i y))=y\). \(\displaystyle \qed\)

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Stephen Hawking

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