Konjugiert komplexe Zahlen

Sei z=x+i⁡yz=x+\i y eine komplexe Zahl, dann versteht man unter der zu zz konjugiert komplexen Zahl die Zahl z‾=x−i⁡y\overline z=x-\i y.

Satz 5228C (Eigenschaften konjugiert komplexer Zahlen)

Seien z=x+i⁡yz=x+\i y , z1z_1 und z2z_2 komplexe Zahlen, dann gilt
  1. z‾‾=z\overlineII {z}=z
  2. z‾=z  ⟺  z∈R\overline {z}=z\iff z\in\dom R
  3. z1±z2‾=z1‾±z2‾\overlineI {z_1 \pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}
    z1⋅z2‾=z1‾⋅z2‾\overlineI {z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}
    (z1z2 )‾=z1‾z2‾\overline {\braceNT{\dfrac { z_1}{z_2}\, }}=\dfrac{ \overline{z_1}} {\overline{z_2}}
  4. z⋅z‾=x2+y2z\cdot \overline {z}=x^2+y^2

Beweis

Die Beziehungen hat man schnell nachgerechnet. □\qed

Real- und Imaginärteil

Sei z=x+i⁡yz=x+\i y eine komplexe Zahl, dann heißt xx der Realteil ℜ(z)=x\Re(z)=x und y der Imaginärteil ℑ(z)=y\Im(z)=y. Realteil und Imaginärteil sind reelle Zahlen (ℜ(z),ℑ(z)∈R\Re(z),\Im(z)\in\domR).

Satz 5228D (Eigenschaften von Real- und Imaginärteil)

Sei zz eine komplexe Zahl, dann gilt:
ℜ(z)=12 (z+z‾)\Re(z)=\dfrac 1 2 \, (z + \overline{z}) und ℑ(z)=12i⁡ (z−z‾)\Im(z)=\dfrac 1 {2\i} \, (z - \overline{z})

Beweis

12 (z+z‾)=12 (x+i⁡y+x−i⁡y)=x\dfrac 1 2 \, (z + \overline{z}) = \dfrac 1 2 \, (x+\i y+x-\i y)=x. 12i⁡ (z−z‾)\dfrac 1 {2\i} \, (z - \overline{z}) =12i⁡(x+i⁡y−(x−i⁡y))=y=\dfrac 1 {2\i}(x+\i y-(x-\i y))=y. □\qed
 
 

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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