Komplexe Funktionen

Eine Abbildung f:M→Cf:M \rightarrow \domC mit M⊆CM\subseteq \domC heißt eine komplexe Funktion oder komplexwertige Funktion. Ordnet ff jedem z∈Mz\in M ein w∈Cw\in\domC zu, so schreibt man
w=f(z) w = f(z)\,
Die Menge MM heißt Definitionsbereich D(f)D(f) der Funktion ff. Die Menge aller Funktionswerte heißt der Wertebereich W(f)W(f) der Funktion.
Zerlegen wir nun [!Argument] und Funktionswert in ihren jeweiligen Realteil und Imaginärteil:
z=x+i⁡yz = x + \i y und w=u+i⁡vw = u + \i v,
so können wir uu und vv als reelle Funktionen der beiden reellen Variablen xx und yy auffassen:
u=u(x,y)u = u(x,y) und v=v(x,y)v = v(x,y).

Darstellung komplexer Funktionen

SqrAbs.png
Da wir es bei Funktionen einer komplexen Veränderlichen mit vier reellen Variablen zu tun haben, ist eine bequeme Veranschaulichung, wie wir sie von reellen Funktionen mit zwei oder auch drei Variablen kennen, nicht möglich.
Bei einer Funktion f(x,y)f(x, y) von zwei reellen unabhängigen Variablen lässt sich ein Funktionswert z=f(x,y)z = f(x, y) als "Höhe" eines Punktes über der xyxy-Ebene darstellen, und die Gesamtheit der Funktionswerte bildet eine Fläche (ein "Gelände") im Raum. Bei Funktionen einer komplexen Variablen dagegen sind die Funktionswerte ebenfalls komplexe Zahlen, um obiges Schema anwenden zu können müssen wir sie auf reelle Werte herunterbrechen.
SqrRe.png
Dazu bestehen prinzipiell 3 Möglichkeiten. Wir tragen auf der Höhenachse:
Am gängigsten ist es, den Betrag abzutragen.
In den nebenstehenden Grafiken sind alle drei Varianten für die komplexe Funktion
f(z)=z2f(z)=z^2
dargestellt.
Für z=u+i⁡vz=u+\i v ist f(z)=u2−v2+2uvi⁡f(z)=u^2-v^2+2uv\i und es ergeben sich die reellen Funktionen:
SqrIm.png
∣f(z)∣=u2+v2|f(z)|=u^2+v^2
ℜ(f(z))=u2−v2\Re(f(z))=u^2-v^2
ℑ(f(z))=2uv\Im(f(z))=2uv
 
 

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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