Differentialrechnung von Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Sei G⊆CG\subseteq \C ein Gebiet. Eine Funktion f:G→Cf:G\to \C heißt differenzierbar in z0∈Gz_0\in G genau dann, wenn der Grenzwert
f ′(z0)=lim⁡z→z0f(z)−f(z0)z−z0f\, '(z_0)=\lim_{z\to z_0}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} (1)
existiert. Analog zum Reellen erhalten wir mit h=z−z0h=z-z_0 die Form
f ′(z0)=lim⁡h→0f(z0+h)−f(z0)hf\, '(z_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac {f(z_0+h)-f(z_0)}{h}.
Durch Zerlegung in Realteil und Imaginärteil können wir mit z=x+i⁡yz=x+\i y die Funktion folgendermaßen schreiben f(z)=f(x+i⁡y)f(z)=f(x+\i y) =u(x,y)+i⁡v(x,y)=u(x,y)+\i v(x,y), wobei u,v:R2→Ru,v:\R^2\to \R. Damit lässt sich ff als aus zwei reellwertigen Funktionen zusammengesetzt auffassen. Damit stellt sich die Frage ob und wie die Differenzierbarkeit von uu und vv mit der Differenzierbarkeit von ff zusammenhängen.
Sei ff in z0=x0+i⁡yz_0=x_0+\i y differenzierbar und f ′(z0)f\, '(z_0) der Wert der Ableitung. Aus (1) ergibt sich
lim⁡z→z0f(z)−f(z0)z−z0\lim_{z\to z_0}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} =lim⁡x→x0y→y0f(z)−f(z0)x−x0+i⁡(y−y0)=\lim_{ \atop{x\to x_0} {y\to y_0}}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{x-x_0+\i(y-y_0)}
Nach Definition gilt für y=y0y=y_0
lim⁡x→x0f(z)−f(z0)x−x0=f ′(z0)\lim_{x\to x_0}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{x-x_0}=f\, '(z_0)
und für x=x0x=x_0
lim⁡y→y01i⁡⋅f(z)−f(z0)y−y0=f ′(z0)\lim_{y\to y_0}\dfrac 1 \i\cdot\dfrac {f(z)-f(z_0)}{y-y_0}=f\, '(z_0).
Durch Einsetzen der Funktionen uu und vv ergibt sich einerseits f ′(z0)=lim⁡x→x0f(z)−f(z0)x−x0f\, '(z_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{x-x_0} =lim⁡x→x0u(x,y0)+i⁡v(x,y0)−(u(x0,y0)+i⁡v(x0,y0))x−x0=\lim_{x\to x_0}\dfrac {u(x,y_0)+\i v(x,y_0)-(u(x_0,y_0)+\i v(x_0,y_0))}{x-x_0} =lim⁡x→x0u(x,y0)−u(x0,y0)x−x0+i⁡⋅lim⁡x→x0v(x,y0)−u(x0,y0)x−x0=\lim_{x\to x_0}\dfrac {u(x,y_0)-u(x_0,y_0)}{x-x_0}+\i\cdot\lim_{x\to x_0}\dfrac {v(x,y_0)-u(x_0,y_0)}{x-x_0} =∂u∂x (x0,y0)+i⁡∂v∂x (x0,y0)=\dfrac {\partial u} {\partial x}\, (x_0,y_0)+\i \dfrac {\partial v} {\partial x}\, (x_0,y_0) und andererseits f ′(z0)=1i⁡⋅lim⁡y→y0f(z)−f(z0)y−y0f\, '(z_0)=\dfrac 1 \i\cdot\lim_{y\to y_0}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{y-y_0} =1i⁡⋅lim⁡y→y0u(x0,y)−u(x0,y0)y−y0+lim⁡y→y0v(x0,y)−v(x0,y0)y−y0=\dfrac 1 \i\cdot\lim_{y\to y_0}\dfrac {u(x_0,y)-u(x_0,y_0)}{y-y_0}+\lim_{y\to y_0}\dfrac {v(x_0,y)-v(x_0,y_0)}{y-y_0} =−i⁡⋅∂u∂y (x0,y0)+∂v∂y (x0,y0)=-\i\cdot \dfrac {\partial u} {\partial y}\, (x_0,y_0)+\dfrac {\partial v} {\partial y}\, (x_0,y_0). Der Vergleich von Realteil und Imaginärteil liefert die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
∂u∂x=∂v∂y\dfrac {\partial u} {\partial x}=\dfrac {\partial v} {\partial y} und ∂u∂y=−∂v∂x\dfrac {\partial u} {\partial y}=-\dfrac {\partial v} {\partial x} (2)
Damit ist die Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen eine notwendige Bedingung für die komplexe Differenzierbarkeit. Sind uu und vv total differenzierbar, so ist ihre Gültigkeit sogar hinreichend.

Satz 16CP (Komplexe Differenzierbarkeit und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen)

Sei f:G→Cf:G\to \C eine komplexe Funktion, GG ein Gebiet. Dann gilt :
  1. Wenn ff in z0z_0 differenzierbar ist, dann genügen ℜf\Re f und ℑf\Im f den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
  2. Wenn ℜf\Re f und ℑf\Im f den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen genügen und als Funktionen von ℜz\Re z und ℑz\Im z total differenzierbar sind, so ist ff komplex differenzierbar.

Beweis

(i) wurde oben gezeigt. (ii) Ist f=(uv)f=\pmatrix {u\\ v} total differenzierbar, so lässt sich ff in (x0,y0)(x_0,y_0) wie folgt darstellen
f(z0+h)−f(z0)=Df(z0)⋅h+R(h)f(z_0+h)-f(z_0)=D f(z_0)\cdot h+R(h),
wobei lim⁡h→0∣R(h)∣∣h∣=0\lim_{h\to 0}\dfrac {|R(h)|} {|h|}=0 gilt und
Df(x0,y0)=(ux(x0,y0)uy(x0,y0)vx(x0,y0)vy(x0,y0))Df(x_0,y_0)=\pmatrix{ {u_x(x_0,y_0)} & {u_y(x_0,y_0)} \\ {v_x(x_0,y_0)} & {v_y(x_0,y_0)} }
die Jacobi-Matrix ist.
Setzt man nun u0=ux(x0,y0)u_0=u_x(x_0,y_0) und v0=vx(x0,y0)v_0=v_x(x_0,y_0) und berücksichtigt die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, so ist Df(x0,y0)=(u0−v0v0u0)Df(x_0,y_0)=\pmatrix{ {u_0}&{-v_0} \\ {v_0} &{u_0}}.
Geht man nun zum Komplexen über ergibt sich Df(x0,y0)=(u0+i⁡v0)hDf(x_0,y_0)=(u_0+\i v_0)h, falls die Form h=h1+i⁡h2h=h_1+\i h_2 hat.
Dann ist f ′(z0)=lim⁡h→0f(z0+h)−f(z0)hf\, '(z_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac {f(z_0+h)-f(z_0)}{h} =u0+i⁡v0+lim⁡h→0R(h)h=u_0+\i v_0+\lim_{h\to 0}\dfrac {R(h)} h =u0+i⁡v0=u_0+\i v_0 wegen lim⁡h→0∣R(h)∣∣h∣=0\lim_{h\to 0}\dfrac {|R(h)|} {|h|}=0. Damit ist gezeigt, dass ff differenzierbar ist und die Ableitung sich gerade aus die Ableitungen von uu und vv kombiniert. □\qed
 
 

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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