Differentialrechnung von Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Sei \(\displaystyle G\subseteq \C\) ein Gebiet. Eine Funktion \(\displaystyle f:G\to \C\) heißt differenzierbar in \(\displaystyle z_0\in G\) genau dann, wenn der Grenzwert
(1)
\(\displaystyle f\, '(z_0)=\lim_{z\to z_0}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\)
existiert. Analog zum Reellen erhalten wir mit \(\displaystyle h=z-z_0\) die Form
\(\displaystyle f\, '(z_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac {f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\).
Durch Zerlegung in Realteil und Imaginärteil können wir mit \(\displaystyle z=x+\i y\) die Funktion folgendermaßen schreiben \(\displaystyle f(z)=f(x+\i y)\) \(\displaystyle =u(x,y)+\i v(x,y)\), wobei \(\displaystyle u,v:\R^2\to \R\). Damit lässt sich \(\displaystyle f\) als aus zwei reellwertigen Funktionen zusammengesetzt auffassen. Damit stellt sich die Frage ob und wie die Differenzierbarkeit von \(\displaystyle u\) und \(\displaystyle v\) mit der Differenzierbarkeit von \(\displaystyle f\) zusammenhängen.
Sei \(\displaystyle f\) in \(\displaystyle z_0=x_0+\i y\) differenzierbar und \(\displaystyle f\, '(z_0)\) der Wert der Ableitung. Aus (1) ergibt sich
\(\displaystyle \lim_{z\to z_0}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\) \(\displaystyle =\lim_{ \atop{x\to x_0} {y\to y_0}}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{x-x_0+\i(y-y_0)}\)
Nach Definition gilt für \(\displaystyle y=y_0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{x-x_0}=f\, '(z_0)\)
und für \(\displaystyle x=x_0\)
\(\displaystyle \lim_{y\to y_0}\dfrac 1 \i\cdot\dfrac {f(z)-f(z_0)}{y-y_0}=f\, '(z_0)\).
Durch Einsetzen der Funktionen \(\displaystyle u\) und \(\displaystyle v\) ergibt sich einerseits \(\displaystyle f\, '(z_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{x-x_0}\) \(\displaystyle =\lim_{x\to x_0}\dfrac {u(x,y_0)+\i v(x,y_0)-(u(x_0,y_0)+\i v(x_0,y_0))}{x-x_0}\) \(\displaystyle =\lim_{x\to x_0}\dfrac {u(x,y_0)-u(x_0,y_0)}{x-x_0}+\i\cdot\lim_{x\to x_0}\dfrac {v(x,y_0)-u(x_0,y_0)}{x-x_0}\) \(\displaystyle =\dfrac {\partial u} {\partial x}\, (x_0,y_0)+\i \dfrac {\partial v} {\partial x}\, (x_0,y_0)\) und andererseits \(\displaystyle f\, '(z_0)=\dfrac 1 \i\cdot\lim_{y\to y_0}\dfrac {f(z)-f(z_0)}{y-y_0}\) \(\displaystyle =\dfrac 1 \i\cdot\lim_{y\to y_0}\dfrac {u(x_0,y)-u(x_0,y_0)}{y-y_0}+\lim_{y\to y_0}\dfrac {v(x_0,y)-v(x_0,y_0)}{y-y_0}\) \(\displaystyle =-\i\cdot \dfrac {\partial u} {\partial y}\, (x_0,y_0)+\dfrac {\partial v} {\partial y}\, (x_0,y_0)\).Der Vergleich von Realteil und Imaginärteil liefert die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
(2)
\(\displaystyle \dfrac {\partial u} {\partial x}=\dfrac {\partial v} {\partial y}\) und \(\displaystyle \dfrac {\partial u} {\partial y}=-\dfrac {\partial v} {\partial x}\)
Damit ist die Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen eine notwendige Bedingung für die komplexe Differenzierbarkeit. Sind \(\displaystyle u\) und \(\displaystyle v\) total differenzierbar, so ist ihre Gültigkeit sogar hinreichend.
 
 

Satz 16CP (Komplexe Differenzierbarkeit und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen)

Sei \(\displaystyle f:G\to \C\) eine komplexe Funktion, \(\displaystyle G\) ein Gebiet. Dann gilt :
  1. Wenn \(\displaystyle f\) in \(\displaystyle z_0\) differenzierbar ist, dann genügen \(\displaystyle \Re f\) und \(\displaystyle \Im f\) den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
  2. Wenn \(\displaystyle \Re f\) und \(\displaystyle \Im f\) den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen genügen und als Funktionen von \(\displaystyle \Re z\) und \(\displaystyle \Im z\) total differenzierbar sind, so ist \(\displaystyle f\) komplex differenzierbar.

Beweis

(i) wurde oben gezeigt.(ii) Ist \(\displaystyle f=\pmatrix {u\\ v}\) total differenzierbar, so lässt sich \(\displaystyle f\) in \(\displaystyle (x_0,y_0)\) wie folgt darstellen
\(\displaystyle f(z_0+h)-f(z_0)=D f(z_0)\cdot h+R(h)\),
wobei \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac {|R(h)|} {|h|}=0\) gilt und
\(\displaystyle Df(x_0,y_0)=\matrix{{ {u_x(x_0,y_0)} {u_y(x_0,y_0)}} {{v_x(x_0,y_0)} {v_y(x_0,y_0)}}}\)
die Jacobi-Matrix ist.
Setzt man nun \(\displaystyle u_0=u_x(x_0,y_0)\) und \(\displaystyle v_0=v_x(x_0,y_0)\) und berücksichtigt die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, so ist \(\displaystyle Df(x_0,y_0)=\matrix{{{u_0}{-v_0}} {{v_0}{u_0}}}\).
Geht man nun zum Komplexen über ergibt sich \(\displaystyle Df(x_0,y_0)=(u_0+\i v_0)h\), falls die Form \(\displaystyle h=h_1+\i h_2\) hat.
Dann ist \(\displaystyle f\, '(z_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac {f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\) \(\displaystyle =u_0+\i v_0+\lim_{h\to 0}\dfrac {R(h)} h\) \(\displaystyle =u_0+\i v_0\) wegen \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac {|R(h)|} {|h|}=0\). Damit ist gezeigt, dass \(\displaystyle f\) differenzierbar ist und die Ableitung sich gerade aus die Ableitungen von \(\displaystyle u\) und \(\displaystyle v\) kombiniert. \(\displaystyle \qed\)

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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