Totale Differenzierbarkeit

Vorbetrachtungen und Motivation

Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt nicht unbedingt die Stetigkeit (vgl. Beispiel 165U). Daher stellt sich die Frage, ob es möglich ist eine mehrdimensionale Differenzierbarkeit so zu definieren, dass die Stetigkeit folgt.
Der Beweis der Stetigkeit differenzierbarer Funktionen (Satz 15J3) beruht im wesentlichen auf der Annäherung von Funktionen durch lineare Ausdrücke (Satz 15VC). Eine differenzierbare reelle Funktion ff kann danach in der Nähe der Stelle aa wie folgt angenähert werden:
f(a+h)=f(a)+f ′(a)⋅hf(a+h)=f(a)+f\, '(a)\cdot h +R(h)⋅h+R(h)\cdot h,
mit lim⁡h→0R(h)=0\lim_{h\to 0}R(h)=0.
Hieraus ergibt sich
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)−f ′(a)⋅hh=lim⁡h→0R(h)=0\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)-f\, '(a)\cdot h} h =\lim_{h\to 0} R(h)=0(1)
Geht man nun zu Vektoren über, kann man (1) auf Funktionen mehrerer Veränderlicher übertragen.
 
 

Definition

Sei f:Rn→Rf:\Rn\to\R eine Funktion, dann ist ff an der Stelle aa total differenzierbar oder vollständig differenzierbar, wenn ein c=(c1,…,cn)∈Rnc=(c_1,\dots,c_n)\in\Rn existiert, so dass
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)−c⋅h∣∣h∣∣=0\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)-c\cdot h} {||h||} =0
gilt. Dabei ist zu beachten, dass h=(h1,…,hn)h=(h_1,\dots,h_n) ein Vektor ist und c⋅h=c1h1+⋯+cnhnc\cdot h=c_1h_1+\dots+c_nh_n.
In Analogie zum Eindimensionalen schreiben wir f′(a)=(c1⋮cn)f'(a)=\pmatrix {c_1\\ \vdots\\ c_n } als Spaltenvektor und nennen f′(a)f'(a) totale Ableitung.

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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Mehrdimensionale Analysis