Implizite Funktionen

Eine Funktion f:D→Rmf:D\rightarrow\R^m mit D⊂Rn D\subset\R^n wird implizit genannt, wenn sie durch eine Gleichung der Form
F(x,y)=0F(x,y)=0
gegeben ist, d.h. F(x,f(x))=0 ∀x∈DF(x,f(x))=0 \, \forall x\in D.
Welche Bedingungen sind an FF zu stellen, damit durch F(x,y)=0F(x,y)=0 eine Funktion y=f(x)y=f(x) definiert wird? Also unter welchen Bedingungen an FF ist die Gleichung F(x,y)=0F(x,y)=0 eindeutig nach yy auflösbar?
In Komponenten zerlegt bedeutet dies, das Gleichungssystem F1(x1,…,xn,y1,…,ym)=0⋮Fm(x1,…,xn,y1,…,ym)=0, \begin{matrix} F_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0\\ \vdots\\ F_m(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0, \end{matrix} wobei x=(x1⋮xn)x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}; y=(y1⋮ym) y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m \end{pmatrix} und F=(F1⋮Fm) F=\begin{pmatrix}F_1\\\vdots\\F_m \end{pmatrix} auf DD nach y1,…,ymy_1,\dots,y_m aufzulösen ist. Es sind also reellwertige Funktionen f1,…,fm:D→Rf_1,\dots,f_m:D\rightarrow\R zu bestimmen, so dass gilt
Fj(x1,…,xn,f1(x1,…,xn),…,fm(x1,…,xn))=0F_j(x_1,\dots,x_n,f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_1,\dots,x_n))=0
für 1≤j≤m 1\leq j\leq m und (x1⋮xn)∈D \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}\in D.

Beispiele

Umkehrbarkeit linearer Abbildungen

F(x,y)=Ay−xF(x,y)=Ay-x mit der Matrix A∈Mat(n;R) A\in\Mat(n; \R). F:Rn×Rn→Rn F:\R^n\times\R^n \rightarrow\R^n F(x,y)=0F(x,y)=0⇔Ay−x=0 \Leftrightarrow Ay-x=0⇔Ay=x \Leftrightarrow Ay=x. Ist AA invertierbar, so gilt y=f(x)=A−1xy=f(x)=A^{-1}x

impl.png
y=x23 y= \sqrtN{3}{x^2}
F:R×R→RF:\R\times\R\rightarrow\R; F(x,y)=y3−x2F(x,y)=y^3-x^2, F(x,y)=0 F(x,y)=0 ⇔y3−x2=0 \Leftrightarrow y^3-x^2=0⇔y3=x2 \Leftrightarrow y^3=x^2⇔y=x23 \Leftrightarrow y= \sqrtN{3}{x^2}. Durch F(x,y)=y3−x2=0F(x,y)=y^3-x^2=0 wird eindeutig eine reelle Funktion y=f(x)y=f(x) definiert. Die Auflösung nach yy ist eindeutig
F:R×R→RF:\R\times\R\rightarrow\R; F(x,y):=x2+y2−1=0 F(x,y):=x^2+y^2-1=0 ist nicht eindeutig umkehrbar. Funktionen sind z.B. y1=f1(x)=1−x2y_1=f_1(x)=\sqrt{1-x^2}, y2=f2(x)=−1−x2 y_2=f_2(x)=-\sqrt{1-x^2}. Durch die Gleichung F(x,y)=x2y2−1=0F(x,y)=x^2y^2-1=0 wird nicht eindeutig eine Funktion y=f(x)y=f(x) definiert.
In den meisten Fällen ist nicht die globale Umkehrbarkeit von Interesse, sondern, ob durch die Gleichung F(x,y)=0F(x,y)=0 in einer Umgebung Uε(ξ,η)U_\varepsilon(\xi,\eta) mit F(ξ,η)=0F(\xi,\eta)=0 eine Funktion y=f(x)y=f(x) mit η=f(ξ)\eta=f(\xi) definiert wird (lokale Auflösbarkeit von F(x,y)=0F(x,y)=0 nach yy).

Bezeichnungen für den nachfolgenden Satz

x=(x1⋮xn) x =\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix} ; y=(y1⋮ym) y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m \end{pmatrix}; (xy)=(x1⋮xny1⋮ym) \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\\y_1\\\vdots\\y_m \end{pmatrix} F:K→Rm F:K\rightarrow\R^mmit K⊂Rn×Rm K \subset\R^n\times\R^m und F=(F1⋮Fm) F=\begin{pmatrix} F_1\\\vdots\\F_m \end{pmatrix} (Fi:K→R F_i :K\rightarrow\R )
F(x,y)=F(x1,…,xn,y1,…,ym)F(x,y)=F(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=(F1(x1,…,xn,y1,…,ym)⋮Fm(x1,…,xn,y1,…,ym)) = \begin{pmatrix} F_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)\\ \vdots\\ F_m(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m) \end{pmatrix}
∂F∂x:=(∂F1∂x1…∂F1∂xn⋮⋮∂Fm∂x1…∂Fm∂xn)\dfrac{\partial F}{\partial x}:=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ \vdots & & \vdots\\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} ist einem×nm\times n -Matrix und ∂F∂y:=(∂F1∂y1…∂F1∂ym⋮⋮∂Fm∂y1…∂Fm∂ym)\dfrac{\partial F}{\partial y}:=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial y_1} & \dots & \dfrac{\partial F_1}{\partial y_m}\\ \vdots & & \vdots\\ \dfrac{\partial F_m}{\partial y_1} & \dots & \dfrac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{pmatrix} ist einem×mm\times m -Matrix.

Satz 16KT (Satz von der impliziten Funktion)

Seien D⊂RnD\subset \R^n, G⊂RmG\subset\R^m offen und die Funktion F:D×G→RmF:D\times G \rightarrow \R^m stetig differenzierbar. Ferner seien ξ∈D\xi\in D und η∈G\eta \in G Punkte, für die F(ξ,η)=0F(\xi,\eta)=0 und die Jacobimatrix ∂F∂y(ξ,η)\dfrac{\partial F}{\partial y} (\xi,\eta) invertierbar ist. Dann gilt:
  1. Es existiert eine δ\delta-Umgebung Uδ(ξ)⊂DU_\delta(\xi)\subset D und eine ε\varepsilon-Umgebung Uε(η)⊂GU_\varepsilon(\eta)\subset G und genau eine stetige Funktion f:Uδ(ξ)→Uε(η)f:U_\delta(\xi)\rightarrow U_\varepsilon(\eta) mit f(ξ)=ηf(\xi)=\eta und F(x,f(x))=0F(x,f(x))=0 für alle x∈Uδ(ξ) x\in U_\delta(\xi). Für jedes feste x∈Uδ(ξ)x \in U_\delta(\xi) ist f(x)f(x) die einzige Lösung in Uε(η)U_\varepsilon(\eta) mit F(x,f(x))=0F(x,f(x))=0.
  2. Es existiert eine weitere δ1\delta_1-Umgebung (δ1≤δ\delta_1\leq \delta) Uδ1(ξ)U_{\delta_1} (\xi), in welcher die Funktion f:Uδ1(ξ)→Uε(η)f:U_{\delta_1}(\xi) \rightarrow U_\varepsilon(\eta) stetig differenzierbar ist und die Formel: f′(x)=−(∂F∂y(x,f(x)))−1∂F∂x(x,f(x))f'(x)=-\left(\dfrac{\partial F}{\partial y} (x,f(x))\right)^{-1} \dfrac{\partial F}{\partial x} (x,f(x)) gilt.

Beispiel

Sei F:R×R→RF:\R\times\R\rightarrow\R mit F(x,y)=x2+y2−1 F(x,y) = x^2+y^2-1 ; F(x,y)=0F(x,y)=0 beschreibt den Einheitskreis. ∂F∂y=2y≠0\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2y \neq 0 für y≠0 y\neq 0 und (∂F∂y)−1=12y \left(\dfrac{\partial F}{\partial y}\right)^{-1} =\dfrac{1}{2y} . Nach Satz 16KT ist die Gleichung F(x,y)=x2+y2−1=0F(x,y)=x^2+y^2-1=0 in jeder offenen Umgebung von (ξ,η)(\xi,\eta) mit F(ξ,η)=0F(\xi,\eta)=0 und η≠0\eta\neq 0 nach yy eindeutig auflösbar. In (−1,0)(-1,0) und (1,0)(1,0) ist F(x,y)=0F(x,y)=0 nicht lokal nach yy auflösbar. F(x,f(x))=x2+f(x)2−1=0F(x,f(x))=x^2+f(x)^2-1=0, ∂F∂x=2x \dfrac{\partial F}{\partial x}=2x f′(x)=−(∂F∂y)−1(x,f(x))⋅(∂F∂x)(x,f(x))f'(x)=-\left(\dfrac{\partial F}{\partial y}\right)^{-1}(x,f(x))\cdot \left(\dfrac{\partial F}{\partial x}\right)(x,f(x))=−12f(x)⋅2x =-\dfrac{1}{2f(x)}\cdot 2x=−xf(x) =-\dfrac{x}{f(x)}. Für y>0 y>0 ist f(x)=1−x2 f(x)=\sqrt{1-x^2} und f′(x)=−x1−x2 f'(x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}.
 
 

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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