Richtungsableitung

Die partiellen Ableitungen kann man sich als Ableitungen entlang von Geraden parallel zu den Koordinatenachsen vorstellen.
Entsprechend kann man sich eine beliebige Richtung vorgeben und die Funktion entlang dieser differenzieren.
Sei f:Rn→Rf:\Rn\to\R sei in einer Umgebung des Punktes a∈Rna\in\Rn definiert. v∈Rnv\in\Rn sei ein beliebiger Richtungsvektor. Die Gerade
g:={y∈Rn ∣ y=a+tv,  t∈R}g:=\{y\in\Rn \, |\, y=a+tv,\, \, t\in\R\}
beschreibt eine Gerade durch aa mit der Richtung vv.
Wir definieren eine reelle Funktion
h(t):=f(a+tv)h(t):=f(a+tv),
für welche h(0)=f(a)h(0)=f(a) gilt. Für hh ist die Ableitung wie üblich definiert ist. Es gilt
h′(0)=lim⁡t→0 h(t)−h(0)th'(0)=\lim_{t\to 0} \, \dfrac {h(t)-h(0)} t =lim⁡t→0 f(a+tv)−f(a)t= \lim_{t\to 0}\, \dfrac { f(a+tv)-f(a)} t.
Diese Ableitung heißt die Richtungsableitung von ff in der Richtung vv und wird mit ∂f∂v(a)\dfrac {\partial f}{\partial v}(a) bezeichnet. Die Funktion ff ist dann im Punkt aa nach der Richtung vv ableitbar.
Damit entspricht die Richtungsableitung der gewöhnlichen Ableitung, wenn man die Funktion auf ein Gerade einschränkt, die durch aa mit der Richtung vv geht.
Da die Richtungsableitung von der Länge des Vektors vv abhängt, ist es üblich vv zu normieren, so dass ∣∣v∣∣=1||v||=1 ist.
Betrachtet man als Richtung den kk-ten Einheitsvektor eke_k, so entspricht die Richtungsableitung der partiellen Ableitung: ∂f∂ek=∂f∂xk\dfrac {\partial f}{\partial e_k}=\dfrac {\partial f}{\partial x_k}.
 
 

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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