Verallgemeinerte Kettenregel

Spezialfälle

Sei f:RnRf:\Rn\to\R als Funktion mehrerer Veränderlicher in aRna\in\Rn total differenzierbar und g1,,gn:RRg_1,\dots,g_n:\R\to\R in tRt\in\R differenzierbare reelle Funktionen. Es gilt die verallgemeinerte Kettenregel
df(g1(t),,gn(t))dt=k=1nfxkgk(t)\dfrac {\d f(g_1(t),\dots,g_n(t))} {\d t}=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac {\partial f}{\partial x_k} g_k'(t)

Beispiel

Sei f(x1,x2)f(x_1,x_2) und x1=sintx_1=\sin t und x2=costx_2=\cos t. Dann ist dfdt=fx1dx1dt+fx2dx2dt\dfrac {\d f}{\d t}=\dfrac {\partial f}{\partial x_1} \cdot \dfrac {\d x_1}{\d t}+\dfrac {\partial f}{\partial x_2} \cdot \dfrac {\d x_2}{\d t}, also dfdt=fx1costfx2sint\dfrac {\d f}{\d t}=f_{x_1}\cos t-f_{x_2}\sin t.

u:DRnRm u: D\subset\R^n\rightarrow\R^m\ ; g:MRmR g :M\subset\R^m\rightarrow\R; u(D)Mu(D)\subset M u=(u1um)u =\begin{pmatrix}u_1\\ \vdots\\u_m \end{pmatrix} und f=gu f =g\circ u f(x1,,xn) f(x_1,\dots,x_n) =g(u1(x1,,xn),,um(x1,,xn)) =g(u_1(x_1,\dots,x_n),\dots,u_m(x_1,\dots,x_n)) fxk(x) \dfrac{\partial f}{\partial x_k}(x) =i=1mgui(u(x))uixk(x) =\sum\limits_{i=1}^m \dfrac{\partial g}{\partial u_i} (u(x))\dfrac{\partial u_i}{\partial x_k}(x)

Kettenregel

f(x)=g(u(x))u(x)f'(x)=g'(u(x))u'(x) (fx1(x),,fxn(x)) \left(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x),\dots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right) =(gu1(u(x)),,gum(u(x)))(u1x1(x)u1xn(x)umx1(x)umxn(x)) = \left(\dfrac{\partial g}{\partial u_1}(u(x)),\dots,\dfrac{\partial g}{\partial u_m}(u(x))\right) \begin{pmatrix} \dfrac{\partial u_1}{\partial x_1}(x) & \dots & \dfrac{\partial u_1}{\partial x_n}(x)\\ \vdots & & \vdots\\ \dfrac{\partial u_m}{\partial x_1}(x)& \dots & \dfrac{\partial u_m}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix} fxk(x)=gu1(u(x))u1xk(x)++gum(u(x))umxk(x) \Rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x_k}(x)=\dfrac{\partial g}{\partial u_1} (u(x))\dfrac{\partial u_1}{\partial x_k}(x)+\dots+\dfrac{\partial g}{\partial u_m} (u(x))\dfrac{\partial u_m}{\partial x_k} (x)
 
 

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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