Verallgemeinerte Kettenregel

Spezialfälle

Sei f:Rn→Rf:\Rn\to\R als Funktion mehrerer Veränderlicher in a∈Rna\in\Rn total differenzierbar und g1,…,gn:R→Rg_1,\dots,g_n:\R\to\R in t∈Rt\in\R differenzierbare reelle Funktionen. Es gilt die verallgemeinerte Kettenregel
d⁡f(g1(t),…,gn(t))d⁡t=∑k=1n∂f∂xkgk′(t)\dfrac {\d f(g_1(t),\dots,g_n(t))} {\d t}=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac {\partial f}{\partial x_k} g_k'(t)

Beispiel

Sei f(x1,x2)f(x_1,x_2) und x1=sin⁡tx_1=\sin t und x2=cos⁡tx_2=\cos t. Dann ist d⁡fd⁡t=∂f∂x1⋅d⁡x1d⁡t+∂f∂x2⋅d⁡x2d⁡t\dfrac {\d f}{\d t}=\dfrac {\partial f}{\partial x_1} \cdot \dfrac {\d x_1}{\d t}+\dfrac {\partial f}{\partial x_2} \cdot \dfrac {\d x_2}{\d t}, also d⁡fd⁡t=fx1cos⁡t−fx2sin⁡t\dfrac {\d f}{\d t}=f_{x_1}\cos t-f_{x_2}\sin t.

u:D⊂Rn→Rm u: D\subset\R^n\rightarrow\R^m\ ; g:M⊂Rm→R g :M\subset\R^m\rightarrow\R; u(D)⊂Mu(D)\subset M u=(u1⋮um)u =\begin{pmatrix}u_1\\ \vdots\\u_m \end{pmatrix} und f=g∘u f =g\circ u f(x1,…,xn) f(x_1,\dots,x_n) =g(u1(x1,…,xn),…,um(x1,…,xn)) =g(u_1(x_1,\dots,x_n),\dots,u_m(x_1,\dots,x_n)) ∂f∂xk(x) \dfrac{\partial f}{\partial x_k}(x) =∑i=1m∂g∂ui(u(x))∂ui∂xk(x) =\sum\limits_{i=1}^m \dfrac{\partial g}{\partial u_i} (u(x))\dfrac{\partial u_i}{\partial x_k}(x)

Kettenregel

f′(x)=g′(u(x))u′(x)f'(x)=g'(u(x))u'(x) (∂f∂x1(x),…,∂f∂xn(x)) \left(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x),\dots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right) =(∂g∂u1(u(x)),…,∂g∂um(u(x)))(∂u1∂x1(x)…∂u1∂xn(x)⋮⋮∂um∂x1(x)…∂um∂xn(x)) = \left(\dfrac{\partial g}{\partial u_1}(u(x)),\dots,\dfrac{\partial g}{\partial u_m}(u(x))\right) \begin{pmatrix} \dfrac{\partial u_1}{\partial x_1}(x) & \dots & \dfrac{\partial u_1}{\partial x_n}(x)\\ \vdots & & \vdots\\ \dfrac{\partial u_m}{\partial x_1}(x)& \dots & \dfrac{\partial u_m}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix} ⇒∂f∂xk(x)=∂g∂u1(u(x))∂u1∂xk(x)+⋯+∂g∂um(u(x))∂um∂xk(x) \Rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x_k}(x)=\dfrac{\partial g}{\partial u_1} (u(x))\dfrac{\partial u_1}{\partial x_k}(x)+\dots+\dfrac{\partial g}{\partial u_m} (u(x))\dfrac{\partial u_m}{\partial x_k} (x)
 
 

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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