Jacobi-Matrix

Seien in einem Gebiet G⊆RnG\subseteq \Rn die Funktionen f1f_1, f2f_2,...,fmf_m definiert. Dann kann die Zuordnung
(x1,…,xn)↦(x_1,\dots,x_n)\mapto (f1(x1,…,xn),…,fm(x1,…,xn))(f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_1,\dots,x_n))
als Abbildung f:Rn→Rmf:\Rn\to\R^m aufgefasst werden.
Diese Abbildung heißt stetig bzw. differenzierbar, wenn alle fkf_k stetig bzw. differenzierbar sind. Die n×mn\cross m Matrix der partiellen Ableitungen Df:=(∂fk∂xl )k=1…m; l=1…nDf:=\braceNT{\dfrac {\partial {f_k}} {\partial x_l}\, }_{k=1\dots m;\, l=1\dots n} heißt Jacobi-Matrix oder Funktionalmatrix.
Ausgeschrieben erhalten wir:
Df=∂f1∂x1…∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fm∂x1…∂fm∂xnDf=\matrix{ {\dfrac {\partial {f_1}} {\partial x_1} \dots \dfrac {\partial {f_1}} {\partial x_n} } { \vdots \ddots \vdots} {\dfrac {\partial {f_m}} {\partial x_1} \dots \dfrac {\partial {f_m}} {\partial x_n} } }
Diese Matrix der ersten Abbildungen stellt als lineare Abbildung die beste lineare Approximation einer differenzierbaren Funktion in einem gegebenen Punkt dar.

Satz 16KH (Jacobimatrix als totale Ableitung)

Sei D⊂RD\subset\R offen und f:D→Rmf:D\rightarrow\R^m; f=(f1⋮fm) f=\begin{pmatrix} f_1\\\vdots\\f_m\end{pmatrix} und fi:D→Rf_i:D\rightarrow\R im Punkt x∈Rnx\in\R^n differenzierbar. Dann hat die totale Ableitung von ff die folgende Darstellung:
f′(x)=Df=(∂f1∂x1…∂f1∂xn⋮⋮∂fm∂x1…∂fm∂xn)f'(x)=Df=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & & \vdots\\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}(1)

Beweis

f′(x)=A=(aij)j=1,…,ni=1,…,mf'(x)=A=(a_{ij})_{\stackrel{i=1,\dots,m}{j=1,\dots,n}}. Dann gilt: f(x+h)=f(x)+Ah+r(h)f(x+h)=f(x)+Ah+r(h) mit r(h)∣∣h∣∣→h→00\dfrac{r(h)}{||h||} \xrightarrow{h\rightarrow 0} 0. Somit (f1(x+h)⋮fm(x+h))\begin{pmatrix}f_1(x+h)\\\vdots\\f_m(x+h)\end{pmatrix}=(f1(x)⋮fm(x))+(∑k=1na1khk⋮∑k=1namkhk) = \begin{pmatrix}f_1(x)\\\vdots\\f_m(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \sum\limits_{k=1}^n a_{1k}h_k\\\vdots\\\sum\limits_{k=1}^n a_{mk}h_k\end{pmatrix} +(r1(h)⋮rm(h)) +\begin{pmatrix}r_1(h)\\\vdots\\r_m(h)\end{pmatrix} mit ri(h)∣∣h∣∣→0\dfrac{r_i(h)}{||h||}\rightarrow 0, (i=1,…,m) (i=1,\dots,m) ⇒fi(x+h)=fi(x)+∑k=1naikhk+ri(h)\Rightarrow f_i(x+h)=f_i(x)+\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}h_k+r_i(h) für i=1,…,mi=1,\dots,m h=tejh=te_j mit ej=(0,…,1,…,0)e_j=(0,\dots,1,\dots,0); fi(x+tej)=fi(x)f_i(x+te_j)=f_i(x)+∑k=1naik+δjk+ri(tej) + \sum\limits_{k=1}^n a_{ik}+\delta_{jk}+r_i(te_j)=fi(x)+taij+ri(tej) =f_i(x)+ta_{ij}+r_i(te_j) ⇒fi(x+tej)−fi(x)t=aij+ri(tej)t \Rightarrow \dfrac{f_i(x+te_j)-f_i(x)}{t}=a_{ij}+\dfrac{r_i(te_j)}{t} ⇒∂f∂xj=lim⁡t→0f(x+tej)−f(x)t=aij\Rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x_j}=\lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{f(x+te_j)-f(x)}{t}=a_{ij} □\qed

Satz 165Z

Sei D⊂RnD\subset\R^n offen und f=(f1⋮fm):D→Rm,fi:D→Rf=\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\f_m \end{pmatrix} :D\rightarrow\R^m, f_i:D\rightarrow\R eine Funktion, so dass die partiellen Ableitung ∂fi∂xj\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} in DD existieren und im Punkt x∈Dx\in D stetig sind, dann ist ff in xx differenzierbar und es gilt die (1).

Beweis

f=(f1⋮fm)f=\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\f_m \end{pmatrix}; D→Rm D\rightarrow\R^m; D⊂Rn D\subset\R^n offen, sei in x∈Dx\in D differenzierbar,   ⟺  \iff f:D→Rf:D\rightarrow\R in x∈Dx\in D differenzierbar ist. Daher ist oBdA für m=1m=1: f:D→Rf:D\rightarrow\R. Da DD offen ist, folgt, dass ∃δ>0:Uδ(x)={z∈Rn:∣∣x−z∣∣∞<δ}⊂D\exists \delta>0 : U_\delta(x)=\{z\in\R^n:||x-z||_\infty <\delta\}\subset D Sei h∈Rnh\in \R^n mit ∣∣h∣∣<δ ||h||<\delta. Wir setzen
z(0):=x z^{(0)}:=x
z(i):=x+∑k=1ihkekz^{(i)}:=x+\sum\limits_{k=1}^i h_ke_k
Es gilt z(n)=x+hz^{(n)}=x+h und z(i)z^{(i)} und z(i−1)z^{(i-1)} unterscheiden sich in der ii -ten Koordinate. Nach dem Mittwelwertsatz der Differentialrechnung existiert ein θi∈[0,1]\theta_i\in [0,1]: f(z(i))−f(z(i−1))=∂f∂xi(y(i))hi f(z^{(i)})-f(z^{(i-1)})=\dfrac{\partial f}{\partial x_i} (y^{(i)})h_i , wobei y(i)=z(i−1)+ϑihieiy^{(i)}=z^{(i-1)}+\vartheta_ih_ie_i. Sei φ(t):=f(z(i−1)+thej)\varphi (t):=f(z^{(i-1)}+the_j) ; φ(1)=f(z(i)) \varphi(1)=f(z^{(i)}) ; φ(0)=f(z(i−1)) \varphi (0) =f(z^{(i-1)}) Nach dem Mittelwertsatz existiert ein t0t_0 mit φ(1)−φ(0)1−0=φ′(t0)\dfrac{\varphi (1)-\varphi (0)}{1-0} =\varphi'(t_0)=lim⁡ζ→0φ(t0+ζ)+φ(t0)ζ=f(z(i−1)+(t0+ζ)hiei)−f(z(i−1)+t0hiei)ζ =\lim_{\zeta\rightarrow 0} \dfrac{\varphi (t_0+\zeta) + \varphi (t_0)}{\zeta} =\dfrac{f(z^{(i-1)}+(t_0+\zeta)h_ie_i)-{f(z^{(i-1)}+t_0h_ie_i)}}{\zeta}
=lim⁡ζ→0f(y(i)+ζhiei)−f(y(i))ζhihi=\lim_{\zeta\rightarrow 0}\dfrac{f(y^{(i)}+\zeta h_ie_i)-f(y^{(i)})}{\zeta h_i} h_i (mit y(i)=z(i−1)+t0hieiy^{(i)}=z^{(i-1)}+t_0h_ie_i) =∂f∂xi(y(i))hi =\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(y^{(i)})h_i Somit ist f(x+h)−f(x)f(x+h)-f(x)=∑i=1n(f(z(i))−f(z(i−1)) =\sum\limits_{i=1}^n (f(z^{(i)})-f(z^{(i-1)})=∑i=1n∂f∂xi(y(i))hi = \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(y^{(i)})h_i=∑i=1n∂f∂xi(x)hi+∑i=1n(∂f∂xi(y(i))−∂f∂xi(x))hi =\sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)h_i+{\sum\limits_{i=1}^n (\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(y^{(i)})-\dfrac{\partial f}{\partial x_i} (x))h_i}
Mit r(h)=∑i=1n(∂f∂xi(y(i))−∂f∂xi(x))hir(h)={\sum\limits_{i=1}^n (\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(y^{(i)})-\dfrac{\partial f}{\partial x_i} (x))h_i} wenden wir die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung an:
∣r(h)∣≤∑i=1n∣∂f∂xi(x)−∂f∂xi(y(i))∣2⋅∣∣h∣∣2|r(h)|\leq \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n \left|\dfrac{\partial f}{\partial x_i} (x)-\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(y^{(i)})\right|^2}\cdot||h||_2
Daher folgt nun: ∣r(h)∣∣∣h∣∣2≤∑i=1n∣∂f∂xi(x)−∂f∂xi(y(i))∣2⋅∣∣h∣∣2→0\dfrac{|r(h)|}{||h||_2}\leq\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n \left|\dfrac{\partial f}{\partial x_i} (x)-\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(y^{(i)})\right|^2}\cdot||h||_2\rightarrow 0 für h→0h\rightarrow 0 , da ∂f∂xi\dfrac{\partial f}{\partial x_i} stetig in xx, strebt y(i)y^{(i)} gegen xx. □\qed
 
 

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Mehrdimensionale Analysis