Zusammenhang

Ein metrischer Raum \(\displaystyle M\) heißt zusammenhängend, wenn \(\displaystyle M\) und \(\displaystyle \emptyset\) die einzigen sowohl offenen als auch abgeschlossenen Mengen sind. Eine Teilmenge \(\displaystyle A\subseteq M\) eines metrischen Raums heißt zusammenhängend, wenn \(\displaystyle A\) als metrischer Raum zusammenhängend ist. Eine zusammenhängende offene Menge heißt Gebiet.

Satz 16CH

Für einen metrischen Raum \(\displaystyle M\) sind die folgenden Aussagen äquivalent:
  1. \(\displaystyle M\) ist zusammenhängend
  2. \(\displaystyle M\) lässt sich nicht in zwei nicht leere offene Teilmengen zerlegen.
  3. \(\displaystyle M\) lässt sich nicht in zwei nicht leere abgeschlossene Teilmengen zerlegen
 
 

Beweis

(ii) \(\displaystyle \iff\) (iii) ergibt sich wenn man von \(\displaystyle A\) zum Komplement \(\displaystyle M\setminus A\) übergeht.
(i) \(\displaystyle \iff\) (ii): \(\displaystyle M\) ist nicht zusammenhängend nach (i) \(\displaystyle \iff\) Es gibt außer \(\displaystyle M\) noch eine offene und abgeschlossene Menge \(\displaystyle A\) \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle M\setminus A\) ist offen und abgeschlossen \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle M\) lässt sich in zwei nicht leere offene Mengen zerlegen nämlich \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle M\setminus A\). \(\displaystyle \qed\)
Eine Menge \(\displaystyle A\subseteq M\) heißt dann zusammenhängend, wenn der durch \(\displaystyle A\) gebildete Teilraum von \(\displaystyle M\) zusammenhängend ist. Die Aussagen von Satz 16CH gelten dann analog für zusammenhängende Teilmengen.

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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