Zusammenhang

Ein metrischer Raum MM heißt zusammenhängend, wenn MM und ∅\emptyset die einzigen sowohl offenen als auch abgeschlossenen Mengen sind. Eine Teilmenge A⊆MA\subseteq M eines metrischen Raums heißt zusammenhängend, wenn AA als metrischer Raum zusammenhängend ist. Eine zusammenhängende offene Menge heißt Gebiet.

Satz 16CH

Für einen metrischen Raum MM sind die folgenden Aussagen äquivalent:
  1. MM ist zusammenhängend
  2. MM lässt sich nicht in zwei nicht leere offene Teilmengen zerlegen.
  3. MM lässt sich nicht in zwei nicht leere abgeschlossene Teilmengen zerlegen

Beweis

(ii)   ⟺  \iff (iii) ergibt sich wenn man von AA zum Komplement M∖AM\setminus A übergeht.
(i)   ⟺  \iff (ii): MM ist nicht zusammenhängend nach (i)   ⟺  \iff Es gibt außer MM noch eine offene und abgeschlossene Menge AA   ⟺  \iff M∖AM\setminus A ist offen und abgeschlossen   ⟺  \iff MM lässt sich in zwei nicht leere offene Mengen zerlegen nämlich AA und M∖AM\setminus A. □\qed
Eine Menge A⊆MA\subseteq M heißt dann zusammenhängend, wenn der durch AA gebildete Teilraum von MM zusammenhängend ist. Die Aussagen von Satz 16CH gelten dann analog für zusammenhängende Teilmengen.
 
 

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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