Das Cantorsche Diskontinuum

Das Cantorsche Diskontinuum CC (Cantormenge oder auch Cantor-Menge) ist eine Teilmenge der reellen Zahlen mit speziellen topologischen Eigenschaften. Es ist
Damit besteht CC nur aus Randpunkten (Satz 1664).

Konstruktion

Wir konstruieren das Cantorsche Diskontinuum, indem wir sukzessive offene Teilintervalle aus dem abgeschlossenen Intervall [0,1][0,1] entfernen.
Im Anfangsschritt entfernen wir das offene Intervall I0,1:=]13,23[I_{0,1}:=]\dfrac 1 3,\dfrac 2 3[. Wir erhalten die beiden abgeschlossenen Intervalle K0,1=[0,13]K_{0,1}=[0,\dfrac 1 3] und K0,2=[23,1]K_{0,2}=[\dfrac 2 3,1].
In jedem nun folgenden Schritt entfernen wir aus allen verbliebenen abgeschlossenen Intervallen die offenen mittleren Drittel.
Im Schritt 2 sind das die offenen Intervalle I1,1:=]19,29[I_{1,1}:=]\dfrac 1 9,\dfrac 2 9[ und I1,2:=]79,89[I_{1,2}:=]\dfrac 7 9,\dfrac 8 9[ und es bleiben die abgeschlossenen Intervalle K1,1=[0,19]K_{1,1}=[0,\dfrac 1 9], K1,2=[29,13]K_{1,2}=[\dfrac 2 9,\dfrac 1 3], K1,3=[23,79]K_{1,3}=[\dfrac 2 3,\dfrac 7 9] und K1,4=[89,1]K_{1,4}=[\dfrac 8 9,1].
Diesen Prozess setzen wir bis ins Unendliche fort.
Damit ist
C=[0,1]∖⋃n=0∞⋃k=12nIn,kC=[0,1]\setminus \bigcup\limits_{n=0}^\infty \bigcup\limits_{k=1}^{2^n} I_{n,k}

Triadische Darstellung und Überabzählbarkeit

Die Elemente des Cantorschen Diskontinuums können genau als diejenigen reellen Zahlen zwischen 00 und 11 gekennzeichnet werden, deren triadische Darstellung keine Einsen enthält.
Eine Zahl x∈[0,1]x\in[0,1] können wir in der triadischen Darstellung als
x=∑k=1∞ xk3kx=\sum\limits_{k=1}^\infty \, \dfrac {x_k} {3^k} mit xk∈{0,1,2}x_k\in\{0,1,2\}
schreiben.
Es ist nun genau x∈Cx\in C, wenn xk≠1x_k\neq 1 für alle kk, denn alle Zahlen die sich als 0,1... darstellen lassen wurden gerade im 0.ten Schritt entfernt. Analog wurden alle Zahlen der Form 0,01... und 0,21... im ersten Schritt entfernt usw. Anhand dieser Darstellung erkennt man sofort, welche reellen Zahlen zu CC gehören.
Es ist z.B. 0∈C0\in C wegen 0=0,000…0=0,000\dots und 1∈C1\in C wegen 1=0,222…1=0,222\dots in triadischer Darstellung. Es gilt aber auch 14∈C\dfrac 1 4\in C wegen 14=0,020202…\dfrac 1 4=0,020202\dots (Ermmittelt man durch den Grenzwert der entsprechenden geometrischen Reihe)
Aus der triadischen Darstellung ergibt sich die Überabzählbarkeit von CC. Man kann so wie im Beweis von Satz 15XD mit dem 2. Cantorschen Diagonalverfahren argumentieren.

Begründung der topologischen Eigenschaften

Die In,kI_{n,k} sind offene Mengen, eine beliebige Vereinigung von ihnen ist also auch offen (Satz 5225J); nach Satz 16PN ist CC daher abgeschlossen.
 
 

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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