Geometrische Reihe

Die Reihe der Form
sn=∑k=0naqks_n=\sum\limits_{k=0}^n aq^k(1)
heißt geometrische Reihe. Dabei ist a∈Ra\in\dom R eine beliebige reelle Zahl. Im Beispiel 5409A hatten wir ermittelt, dass
sn=a 1−qn+11−qs_n=a\, \dfrac {1-q^{n+1}}{1-q}(2)
gilt. Damit können wir jetzt die Konvergenz der Reihe (1) beurteilen, indem wir den Grenzwert der Zahlenfolge (2) betrachten. Offensichtlich konvergiert die Folge (2) für ∣q∣<1|q|<1 und der Grenzwert ergibt sich mit a1−q\dfrac a{1-q}, also
 
 

Beispiel 5409C (Grenzwert der geometrischen Reihe)

Für ∣q∣<1|q|<1 gilt:
∑k=0∞aqk=a1−q\sum\limits_{k=0}^\infty aq^k=\dfrac a{1-q}
bzw:
∑k=1∞aqk=aq1−q\sum\limits_{k=1}^\infty aq^k=\dfrac {aq}{1-q},
wenn die Summation mit k=1k=1 beginnt.
Startet man die Summation allgemein mit k=mk=m so ergibt sich
∑k=m∞aqk=aqm1−q\sum\limits_{k=m}^\infty aq^k=\dfrac {aq^m}{1-q},
Für ∣q∣≥1|q|\geq 1 divergiert die Reihe. Speziell gilt:
Für q=−1q=-1 ist sn={1fallsn=2k0fallsn=2k+1s_n=\begin{cases}1 &\text{falls} &n=2k\\0 &\text{falls} & n=2k+1\end{cases} und für q=1q=1 ist sn=n+1s_n=n+1.

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

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