Cauchy-Produkt von Reihen

Das Cauchy-Produkt (Cauchy-Produktformel oder Cauchy-Faltung) gestattet die Multiplikation und Division unendlicher Reihen. Sind (an)=n=0an(a_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n und (bn)=n=0bn(b_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty b_n zwei absolut konvergente Reihen, so ist deren Cauchy-Produkt
(an)(bn)=(cn)=n=0cn(a_n) \cdot (b_n) = (c_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n, mit cn=k=0nakbnkc_n = \sum\limits_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}
Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der konvergenten Reihen (an)(a_n) und (bn)(b_n) absolut konvergiert damit das Cauchyprodukt (cn)(c_n) konvergiert (nicht notwendiger Weise absolut) und mit (an)(bn)(a_n)\cdot (b_n) übereinstimmt.
Konvergieren die Reihen (an)(a_n) und (bn)(b_n) nur bedingt, so kann es sein, dass das Cauchyprodukt (cn)(c_n) nicht konvergiert.
 
 

Beispiel

Es sollen das Produkt (cn)=(an)(bn)(c_n) = (a_n) \cdot (b_n) der beiden Reihen
(an)=(bn)=n=0(1)nn+1(a_n)=(b_n)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}
gebildet werden.
Es gilt
cn=k=0n(1)kk+1(1)nknk+1c_n = \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \dfrac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}
=(1)nk=0n1n1k+1n11k1n =(-1)^n \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac1{\sqrt{\dfrac{k+1}{n}}} \cdot \dfrac1{\sqrt{1-\dfrac{k-1}{n}}}
Die cnc_n konvergieren für nn\to\infty mit der Substitution x=kn  dk=dxnx = \dfrac{k}{n} \ \Rightarrow \ \mathrm{d}k = \mathrm{d}x \cdot n betragsmäßig gegen das Integral
011x1xdx=012dx1x2=2[arcsinx]01=π>0\int\limits_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}\, dx =\int\limits_0^1 \dfrac{2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}=2 \left[\arcsin x\right]_0^1=\pi>0
Nach Trivialkriterium divergiert daher (cn)(c_n).
Wenn jedoch (an)(a_n) und (bn)(b_n) beide bedingt konvergieren und das Cauchyprodukt (cn)(c_n) konvergiert, dann stimmt es nach einem Satz von Abel mit (an)(bn)(a_n) \cdot (b_n) überein.
Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:
(an)(bn)=(a0b0)+(a0b1+a1b0)+(a0b2+a1b1+a2b0)+(a_n) \cdot (b_n) = (a_0 b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0) + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) + \dots +(a0bn+a1bn1++akbnk++anb0)++ (a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \dots + a_k b_{n-k} + \dots + a_n b_0) + \dots
Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von nn ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.
Werden insbesondere Potenzreihen multipliziert, d.h., sind (an)=n=0αn(xx0)n(a_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty \alpha_n {(x-x_0)}^n und (bn)=n=0βn(xx0)n(b_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty \beta_n {(x-x_0)}^n, so gilt für ihr Produkt (cn)=n=0(k=0nαkβnk)(xx0)n(c_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\sum\limits_{k=0}^n {\alpha_{k} \beta_{n-k}}\right)(x-x_0)^n, womit die Produktreihe nach Potenzen von xx geordnet werden kann. Um dagegen die Reihe (cn)=(an)(bn)(c_n) = \dfrac{(a_n)}{(b_n)} aufzufinden, bildet man (cn)(bn)=(an)(c_n) \cdot (b_n) = (a_n)für unbekannte cnc_n und ermittelt diese mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs.

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Cauchy-Produktformel aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе