Cauchy-Produkt von Reihen

Das Cauchy-Produkt (Cauchy-Produktformel oder Cauchy-Faltung) gestattet die Multiplikation und Division unendlicher Reihen. Sind (an)=∑n=0∞an(a_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n und (bn)=∑n=0∞bn(b_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty b_n zwei absolut konvergente Reihen, so ist deren Cauchy-Produkt
(an)⋅(bn)=(cn)=∑n=0∞cn(a_n) \cdot (b_n) = (c_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n, mit cn=∑k=0nakbn−kc_n = \sum\limits_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}
wiederum eine absolut konvergente Reihe.
Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der konvergenten Reihen (an)(a_n) und (bn)(b_n) absolut konvergiert damit das Cauchyprodukt (cn)(c_n) konvergiert (nicht notwendiger Weise absolut) und mit (an)⋅(bn)(a_n)\cdot (b_n) übereinstimmt.
Konvergieren die Reihen (an)(a_n) und (bn)(b_n) nur bedingt, so kann es sein, dass das Cauchyprodukt (cn)(c_n) nicht konvergiert.

Beispiel

Es sollen das Produkt (cn)=(an)⋅(bn)(c_n) = (a_n) \cdot (b_n) der beiden Reihen
(an)=(bn)=∑n=0∞(−1)nn+1(a_n)=(b_n)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}
gebildet werden.
Es gilt
cn=∑k=0n(−1)kk+1⋅(−1)n−kn−k+1c_n = \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \dfrac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}
=(−1)n∑k=0n1n⋅1k+1n⋅11−k−1n =(-1)^n \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac1{\sqrt{\dfrac{k+1}{n}}} \cdot \dfrac1{\sqrt{1-\dfrac{k-1}{n}}}
Die cnc_n konvergieren für n→∞n\to\infty mit der Substitution x=kn ⇒ dk=dx⋅nx = \dfrac{k}{n} \ \Rightarrow \ \mathrm{d}k = \mathrm{d}x \cdot n betragsmäßig gegen das Integral
∫011x 1−x dx=∫012 dx1−x2=2[arcsin⁡x]01=π>0\int\limits_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}\, dx =\int\limits_0^1 \dfrac{2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}=2 \left[\arcsin x\right]_0^1=\pi>0
Nach Trivialkriterium divergiert daher (cn)(c_n).
Wenn jedoch (an)(a_n) und (bn)(b_n) beide bedingt konvergieren und das Cauchyprodukt (cn)(c_n) konvergiert, dann stimmt es nach einem Satz von Abel mit (an)⋅(bn)(a_n) \cdot (b_n) überein.
Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:
(an)⋅(bn)=(a0b0)+(a0b1+a1b0)+(a0b2+a1b1+a2b0)+…(a_n) \cdot (b_n) = (a_0 b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0) + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) + \dots +(a0bn+a1bn−1+⋯+akbn−k+⋯+anb0)+…+ (a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \dots + a_k b_{n-k} + \dots + a_n b_0) + \dots
Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von nn ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.
Werden insbesondere Potenzreihen multipliziert, d.h., sind (an)=∑n=0∞αn(x−x0)n(a_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty \alpha_n {(x-x_0)}^n und (bn)=∑n=0∞βn(x−x0)n(b_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty \beta_n {(x-x_0)}^n, so gilt für ihr Produkt (cn)=∑n=0∞(∑k=0nαkβn−k)(x−x0)n(c_n) = \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\sum\limits_{k=0}^n {\alpha_{k} \beta_{n-k}}\right)(x-x_0)^n, womit die Produktreihe nach Potenzen von xx geordnet werden kann. Um dagegen die Reihe (cn)=(an)(bn)(c_n) = \dfrac{(a_n)}{(b_n)} aufzufinden, bildet man (cn)⋅(bn)=(an)(c_n) \cdot (b_n) = (a_n)für unbekannte cnc_n und ermittelt diese mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs.
 
 

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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