Potenzreihen

Sei (an)(a_n) eine Folge und x0∈Rx_0 \in \R. Eine Reihe der Form
∑n=0∞an(x−x0)n \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n =a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯= a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2+ \cdots
heißt Potenzreihe. Sei cn:=∣an∣nc_n := \sqrtN{n}{|a_n|} für n∈Nn \in \N; wir setzen dann
r:={0falls (cn) unbeschra¨nkt∞falls cn→01lim sup⁡cnfalls cn beschra¨nkt und lim sup⁡cn>0 r:=\begin{cases} 0 & \text{falls }(c_n) \text{ unbeschränkt}\\ \infty & \text{falls } c_n \to 0\\ \dfrac{1}{\limsup c_n} & \text{falls } c_n \text { beschränkt und }\limsup c_n\gt 0\end{cases}
Dann heißt rr Konvergenzradius der Potenzreihe. Im folgenden beschränken wir uns auf Potenzreihen der Form
∑n=0∞anxn \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n
d.h. solche Potenzreihen, bei denen x0=0x_0 = 0. Der allgemeine Fall x0∈Rx_0 \in \R lässt sich immer durch die Transformation y=x−x0y = x -x_0 auf diesen Spezialfall zurückführen.

Satz 16M5 (Konvergenz von Potenzreihen und Konvergenzradius)

Sei ∑n=0∞anxn\sum\limits\limits_{n=0}^\infty a_n x^n eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius rr. Dann gilt:
  1. Ist r=0r = 0, so konvergiert die Potenzreihe nur für x=0x = 0.
  2. Ist r=∞r = \infty, so konvergiert die Potenzreihe für jedes x∈Rx \in \R.
  3. Ist r∈]0,∞[r \in ]0, \infty[, so konvergiert die Potenzreihe absolut für ∣x∣<r|x| < r und sie divergiert für ∣x∣>r|x| > r.
    Für ∣x∣=r|x| = r ist keine allgemeine Aussage möglich.

Beweis

Sei x∈Rx \in \R und cn:=∣an∣nc_n := \sqrtN{n}{|a_n|} sowie bn:=anxnb_n := a_n x^n (n∈N n \in \N). Dann gilt: ∣bn∣n=(∣an∣⋅∣xn∣)1n\sqrtN{n}{|b_n|} = (|a_n| \cdot |x^n|)^{\dfrac{1}{n}} =∣an∣n⋅∣x∣=cn⋅∣x∣= \sqrtN{n}{|a_n|} \cdot |x| = c_n \cdot |x|. (i) Sei r=0r = 0   ⇒  (cn)\; \Rightarrow \; (c_n) ist unbeschränkt   ⇒  ∣bn∣n\;\Rightarrow \; \sqrtN{n}{|b_n|} ist unbeschränkt für x≠0x \neq 0 ⇒  ∑bn{\Rightarrow} \; \sum\limits b_n divergiert für x≠0x \neq 0 (nach dem Wurzelkriterium) Also konvergiert ∑bn\sum\limits b_n nur für x=0x = 0.
(ii) Sei r=∞  ⇒  cn→0r = \infty \; \Rightarrow \; c_n \to 0   ⇒  ∣bn∣n→0\;\Rightarrow\; \sqrtN{n}{|b_n|} \to 0 für jedes x∈Rx \in \R. ⇒  lim sup⁡∣bn∣n=0\Rightarrow\; \limsup\sqrtN{n}{|b_n|}= 0 (nach Satz 16M1) ⇒  ∑bn{\Rightarrow} \; \sum\limits b_n konvergiert nach dem Wurzelkriterium absolut für jedes x∈Rx \in \R. (ii) Sei r∈]0,∞[r \in ]0, \infty[ und δ:=lim sup⁡cn\delta := \limsup c_n, also r=1δr = \dfrac{1}{\delta}. Dann gilt:
lim sup⁡∣bn∣n \limsup \sqrtN{n}{|b_n|} =δ⋅∣x∣= \delta \cdot |x| =∣x∣r<1= \dfrac{|x|}{r} < 1 \quad ⇔∣x∣<r\Leftrightarrow \quad |x| < r
oder
lim sup⁡∣bn∣n>1 \limsup \sqrtN{n}{|b_n|} > 1 \quad ⇔∣x∣>r\Leftrightarrow \quad |x| > r
Die Behauptung folgt dann aus dem Wurzelkriterium. □\qed

Beispiele

Exponentialreihe

Die Exponentialreihe ∑n=0∞xnn!\sum\limits\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!} konvergiert absolut für jedes x∈Rx \in \R.
Es ist an=1n!a_n = \dfrac{1}{n!}, also ∣an∣n=1n!n\sqrtN{n}{|a_n|} = \dfrac{1}{\sqrtN{n}{n!}}   ⇒  lim⁡n→∞(n!n)−1=0\;\Rightarrow \; \lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrtN{n}{n!} \right)^{-1} = 0. Also: r=∞r = \infty.

Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe ∑n=0∞xn\sum\limits\limits_{n=0}^\infty x^n konvergiert absolut für ∣x∣<1|x| < 1 und divergiert für ∣x∣≥1|x| \geq 1. Mit an=1a_n = 1 ist ihr Konvergenzradius r=1r = 1, denn lim sup⁡∣an∣n=1\limsup \sqrtN{n}{|a_n|} = 1.

Beispiel

Für die Potenzreihe ∑n=1∞xnn\sum\limits\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n} ist a0=0a_0 = 0 und an=n−1a_n = n^{-1}. ∣an∣n=1nn→1\sqrtN{n}{|a_n|} = \dfrac{1}{\sqrtN{n}{n}} \to 1 (Beispiel 16M6) ⇒  lim sup⁡1nn=1\Rightarrow \; \limsup \dfrac{1}{\sqrtN{n}{n}} = 1   ⇒  \;\Rightarrow \; Konvergenzradius r=11=1r = \dfrac{1}{1} = 1. Die Potenzreihe konvergiert also für ∣x∣<1|x| < 1 und divergiert für ∣x∣>1|x| > 1. Für ∣x∣=1|x| = 1 gilt: 1.Fall: x=1x = 1: Die harmonische Reihe ∑1n\sum\limits \dfrac{1}{n} divergiert   ⇒  \; \Rightarrow \; die Potenzreihe divergiert. 2. Fall x=−1x = -1:Die alternierende harmonische Reihe ∑(−1)nn\sum\limits \dfrac{(-1)^n}{n} konvergiert.. ⇒  \Rightarrow \; die Potenzreihe konvergiert (jedoch nicht absolut).

Beispiel

Für die Potenzreihe ∑n=1∞xnn2\sum\limits\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n^2} ist a0=0a_0 = 0 und an=1n2 a_n = \dfrac{1}{n^2}. ∣an∣n=1(nn)2→1 \sqrtN{n}{|a_n|} = \dfrac{1}{\left(\sqrtN{n}{n}\right)^2} \to 1 also lim sup⁡ann=1\limsup \sqrtN{n}{a_n} = 1 ⇒ \Rightarrow \, Konvergenzradius r=11=1 r = \dfrac{1}{1} = 1 Die Potenzreihe konvergiert also absolut für ∣x∣<1|x| < 1 und divergiert für ∣x∣>1|x| > 1. Für ∣x∣=1|x| = 1 gilt 1. Fall x=1x=1: ∑1n2\sum\limits \dfrac{1}{n^2} konvergiert absolut ⇒  \Rightarrow \; die Potenzreihe konvergiert absolut. 2. Fall x=−1x = -1: ∑(−1)nn2\sum\limits \dfrac{(-1)^n}{n^2} konvergiert absolut     ⇒    \;\; \Rightarrow \;\; die Potenzreihe konvergiert absolut.

Beispiel

Für ∑n=0∞nnxn\sum\limits\limits_{n=0}^\infty n^n x^n ist: an=nna_n = n^n. cn:=∣an∣n=n   c_n := \sqrtN{n}{|a_n|} = n \; ⇒  (cn)\Rightarrow \; (c_n) ist unbeschränkt ⇒   \Rightarrow \; Konvergenzradius r=0r = 0. Die Potenzreihe konvergiert also nur für x=0x = 0.

Beispiel

∑n=0∞anxn\sum\limits\limits_{n=0}^\infty a_n x^n mit an={n2n,n gerade1n3n,n ungeradea_n = \begin{cases} \dfrac{n}{2^n},&n \text{ gerade} \\ \dfrac{1}{n 3^n},&n \text{ ungerade} \end{cases}. cn:=∣an∣n={nn2,n gerade13nn,n ungeradec_n := \sqrtN{n}{|a_n|} = \begin{cases} \dfrac{\sqrtN{n}{n}}{2}, &n \text{ gerade} \\ \dfrac{1}{3 \sqrtN{n}{n}},&n \text{ ungerade} \end{cases} ⇒  \Rightarrow \; Häufungspunkte von cnc_n sind {13,12} \left\{\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right\}, also lim sup⁡cn=12 \limsup c_n = \dfrac{1}{2} ⇒   \Rightarrow\;Konvergenzradius r=2 r = 2. Die Potenzreihe konvergiert absolut für ∣x∣<2|x| < 2 und divergiert für ∣x∣>2|x| > 2. Ist ∣x∣=2|x| = 2, so gilt für gerades nn: ∣anxn∣=n2n∣x∣n|a_n x^n| = \dfrac{n}{2^n} |x|^n =n  = n \; ⇒  anxn\Rightarrow \; a_n x^n ist keine Nullfolge ⇒  ∑anxn\Rightarrow \; \sum\limits a_n x^n divergiert für ∣x∣=2|x| = 2. Die Beispiele zeigen auch, dass für ∣x∣=1|x| = 1 ist keine allgemeine Aussage möglich ist.

Satz 16M8 (Quotientenkriterium für Potenzreihen)

Sind fast alle an¬=0a_n\not=0 und existiert L:=lim⁡n→∞∣anan+1∣L:=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|, so gilt für den Konvergenzradius rr der Potenzreihe ∑n=0∞an(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n:
r=Lr=L

Beweis

Wir setzen bn:=an(x−x0)nb_n:=a_n(x-x_0)^n; dann gilt für x¬=x0x\not=x_0:
∣bn+1bn∣\left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|=∣an+1an∣⋅∣x−x0∣=\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\cdot|x-x_0|
1. Fall: L=0L=0: ⇒    (∣bn+1bn∣)\Rightarrow\;\; \left(\left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|\right) ist unbeschränkt. ⇒  ∑bn=∑an(x−x0)n\Rightarrow\; \sum\limits b_n=\sum\limits a_n(x-x_0)^n ist divergent. ⇒  ∑an(x−x0)n\Rightarrow\; \sum\limits a_n(x-x_0)^n konvergiert nur für x=x0x=x_0. ⇒  r=0\Rightarrow\; r=0. 2. Fall L>0L>0: ⇒  lim⁡n→∞∣bn+1bn∣\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right| =lim⁡n→∞∣an+1an∣⋅∣x−x0∣=\lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\cdot|x-x_0|=1L∣x−x0∣=\dfrac{1}{L}|x-x_0| ⇒  ∑bn=∑an(x−x0)n\Rightarrow\; \sum\limits b_n=\sum\limits a_n(x-x_0)^n ist konvergent, falls 1L∣x−x0∣<1\dfrac{1}{L}|x-x_0|<1, und ist divergent für 1L∣x−x0∣>1\dfrac{1}{L}|x-x_0|>1 (Quotientenkriterium). Also konvergent für ∣x−x0∣<L|x-x_0|<L und divergent für ∣x−x0∣>L|x-x_0|>L ⇒  r=L\Rightarrow\; r=L □\qed

Satz 16M9 (Produkt von Potenzreihen)

∑n=0∞an(x−x0)n\sum\limits\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n und ∑n=0∞bn(x−x0)n\sum\limits\limits_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n seien zwei Potenzreihen mit Konvergenzradien r1r_1 bzw r2r_2. Wir setzen:
R:={min⁡{r1,r2}falls r1<∞oderr2<∞∞falls r1=∞undr2=∞R:=\begin{cases}\min\{r_1,r_2\}& \text{falls }r_1<\infty \text oder r_2<\infty\\ \infty&\text{falls }r_1=\infty \text und r_2=\infty\end{cases}
Dann ist der Konvergenzradius des Cauchyproduktes der Reihen
∑n=0∞cn(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n wobei cn:=∑k=0nakbn−kc_n:=\sum\limits\limits_{k=0}^n a_kb_{n-k}
≥R\geq R
und es gilt:
∑n=0∞cn(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n =(∑n=0∞an(x−x0)n)⋅(∑n=0∞bn(x−x0)n)=\left(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\right)\cdot\left(\sum\limits_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\right)
für ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R.
 
 

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

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