Potenzreihen

Sei \(\displaystyle (a_n)\) eine Folge und \(\displaystyle x_0 \in \R\).Eine Reihe der Form
\(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \)\(\displaystyle = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2+ \cdots \)
heißt Potenzreihe.Sei \(\displaystyle c_n := \sqrtN{n}{|a_n|}\) für \(\displaystyle n \in \N\); wir setzen dann
\(\displaystyle r:=\begin{cases} 0 & \text{falls }(c_n) \text{ unbeschränkt}\\ \infty & \text{falls } c_n \to 0\\ \dfrac{1}{\limsup c_n} & \text{falls } c_n \text { beschränkt und }\limsup c_n>0\end{cases}\)
Dann heißt \(\displaystyle r\) Konvergenzradius der Potenzreihe.Im folgenden beschränken wir uns auf Potenzreihen der Form
\(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n \)
d.h. solche Potenzreihen, bei denen \(\displaystyle x_0 = 0\). Der allgemeine Fall \(\displaystyle x_0 \in \R\) lässt sich immer durch die Transformation \(\displaystyle y = x -x_0\) auf diesen Spezialfall zurückführen.
 
 

Satz 16M5 (Konvergenz von Potenzreihen und Konvergenzradius)

Sei \(\displaystyle \sum\limits\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius \(\displaystyle r\). Dann gilt:
  1. Ist \(\displaystyle r = 0\), so konvergiert die Potenzreihe nur für \(\displaystyle x = 0\).
  2. Ist \(\displaystyle r = \infty\), so konvergiert die Potenzreihe für jedes \(\displaystyle x \in \R\).
  3. Ist \(\displaystyle r \in ]0, \infty[\), so konvergiert die Potenzreihe absolut für \(\displaystyle |x| < r\) und sie divergiert für \(\displaystyle |x| > r\).
    Für \(\displaystyle |x| = r\) ist keine allgemeine Aussage möglich.

Beweis

Sei \(\displaystyle x \in \R\) und \(\displaystyle c_n := \sqrtN{n}{|a_n|}\) sowie \(\displaystyle b_n := a_n x^n\) (\(\displaystyle n \in \N\)).Dann gilt: \(\displaystyle \sqrtN{n}{|b_n|} = (|a_n| \cdot |x^n|)^{\dfrac{1}{n}} \)\(\displaystyle = \sqrtN{n}{|a_n|} \cdot |x| = c_n \cdot |x|\).(i) Sei \(\displaystyle r = 0 \)\(\displaystyle \; \Rightarrow \; (c_n)\) ist unbeschränkt \(\displaystyle \;\Rightarrow \; \sqrtN{n}{|b_n|}\) ist unbeschränkt für \(\displaystyle x \neq 0\)\(\displaystyle {\Rightarrow} \; \sum\limits b_n\) divergiert für \(\displaystyle x \neq 0\) (nach dem Wurzelkriterium)Also konvergiert \(\displaystyle \sum\limits b_n\) nur für \(\displaystyle x = 0\).
(ii) Sei \(\displaystyle r = \infty \; \Rightarrow \; c_n \to 0 \)\(\displaystyle \;\Rightarrow\; \sqrtN{n}{|b_n|} \to 0\) für jedes \(\displaystyle x \in \R\).\(\displaystyle \Rightarrow\; \limsup\sqrtN{n}{|b_n|}= 0\) (nach Satz 16M1)\(\displaystyle {\Rightarrow} \; \sum\limits b_n\) konvergiert nach dem Wurzelkriterium absolut für jedes \(\displaystyle x \in \R\).(ii) Sei \(\displaystyle r \in ]0, \infty[\) und \(\displaystyle \delta := \limsup c_n\), also \(\displaystyle r = \dfrac{1}{\delta}\).Dann gilt:
\(\displaystyle \limsup \sqrtN{n}{|b_n|} \)\(\displaystyle = \delta \cdot |x| \)\(\displaystyle = \dfrac{|x|}{r} < 1 \quad \)\(\displaystyle \Leftrightarrow \quad |x| < r\)
oder
\(\displaystyle \limsup \sqrtN{n}{|b_n|} > 1 \quad \)\(\displaystyle \Leftrightarrow \quad |x| > r\)
Die Behauptung folgt dann aus dem Wurzelkriterium. \(\displaystyle \qed\)

Beispiele

Exponentialreihe

Die Exponentialreihe \(\displaystyle \sum\limits\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}\) konvergiert absolut für jedes \(\displaystyle x \in \R\).
Es ist \(\displaystyle a_n = \dfrac{1}{n!}\), also \(\displaystyle \sqrtN{n}{|a_n|} = \dfrac{1}{\sqrtN{n}{n!}}\) \(\displaystyle \;\Rightarrow \; \lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrtN{n}{n!} \right)^{-1} = 0\). Also: \(\displaystyle r = \infty\).

Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe \(\displaystyle \sum\limits\limits_{n=0}^\infty x^n\) konvergiert absolut für \(\displaystyle |x| < 1\) und divergiert für \(\displaystyle |x| \geq 1\).Mit \(\displaystyle a_n = 1\) ist ihr Konvergenzradius \(\displaystyle r = 1\), denn \(\displaystyle \limsup \sqrtN{n}{|a_n|} = 1\).

Beispiel

Für die Potenzreihe \(\displaystyle \sum\limits\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n}\) ist \(\displaystyle a_0 = 0 \) und \(\displaystyle a_n = n^{-1}\).\(\displaystyle \sqrtN{n}{|a_n|} = \dfrac{1}{\sqrtN{n}{n}} \to 1\) (Beispiel 16M6)\(\displaystyle \Rightarrow \; \limsup \dfrac{1}{\sqrtN{n}{n}} = 1\) \(\displaystyle \;\Rightarrow \; \)Konvergenzradius \(\displaystyle r = \dfrac{1}{1} = 1\).Die Potenzreihe konvergiert also für \(\displaystyle |x| < 1\) und divergiert für \(\displaystyle |x| > 1\).Für \(\displaystyle |x| = 1\) gilt:1.Fall: \(\displaystyle x = 1\): Die harmonische Reihe \(\displaystyle \sum\limits \dfrac{1}{n}\) divergiert \(\displaystyle \; \Rightarrow \;\) die Potenzreihe divergiert.2. Fall \(\displaystyle x = -1\):Die alternierende harmonische Reihe \(\displaystyle \sum\limits \dfrac{(-1)^n}{n}\) konvergiert..\(\displaystyle \Rightarrow \; \) die Potenzreihe konvergiert (jedoch nicht absolut).

Beispiel

Für die Potenzreihe \(\displaystyle \sum\limits\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n^2}\) ist \(\displaystyle a_0 = 0\) und \(\displaystyle a_n = \dfrac{1}{n^2}\).\(\displaystyle \sqrtN{n}{|a_n|} = \dfrac{1}{\left(\sqrtN{n}{n}\right)^2} \to 1\) also \(\displaystyle \limsup \sqrtN{n}{a_n} = 1 \) \(\displaystyle \Rightarrow \,\) Konvergenzradius \(\displaystyle r = \dfrac{1}{1} = 1\)Die Potenzreihe konvergiert also absolut für \(\displaystyle |x| < 1\) und divergiert für \(\displaystyle |x| > 1\).Für \(\displaystyle |x| = 1\) gilt1. Fall \(\displaystyle x=1\): \(\displaystyle \sum\limits \dfrac{1}{n^2}\) konvergiert absolut \(\displaystyle \Rightarrow \;\) die Potenzreihe konvergiert absolut.2. Fall \(\displaystyle x = -1\): \(\displaystyle \sum\limits \dfrac{(-1)^n}{n^2}\) konvergiert absolut \(\displaystyle \;\; \Rightarrow \;\;\) die Potenzreihe konvergiert absolut.

Beispiel

Für \(\displaystyle \sum\limits\limits_{n=0}^\infty n^n x^n\) ist: \(\displaystyle a_n = n^n\). \(\displaystyle c_n := \sqrtN{n}{|a_n|} = n \; \) \(\displaystyle \Rightarrow \; (c_n)\) ist unbeschränkt \(\displaystyle \Rightarrow \;\) Konvergenzradius \(\displaystyle r = 0\).Die Potenzreihe konvergiert also nur für \(\displaystyle x = 0\).

Beispiel

\(\displaystyle \sum\limits\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) mit \(\displaystyle a_n = \begin{cases} \dfrac{n}{2^n},&n \text{ gerade} \\ \dfrac{1}{n 3^n},&n \text{ ungerade} \end{cases}\).\(\displaystyle c_n := \sqrtN{n}{|a_n|} = \begin{cases} \dfrac{\sqrtN{n}{n}}{2}, &n \text{ gerade} \\ \dfrac{1}{3 \sqrtN{n}{n}},&n \text{ ungerade} \end{cases} \)\(\displaystyle \Rightarrow \; \) Häufungspunkte von \(\displaystyle c_n\) sind \(\displaystyle \left\{\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right\}\), also \(\displaystyle \limsup c_n = \dfrac{1}{2}\) \(\displaystyle \Rightarrow\;\)Konvergenzradius \(\displaystyle r = 2\).Die Potenzreihe konvergiert absolut für \(\displaystyle |x| < 2\) und divergiert für \(\displaystyle |x| > 2\).Ist \(\displaystyle |x| = 2\), so gilt für gerades \(\displaystyle n\): \(\displaystyle |a_n x^n| = \dfrac{n}{2^n} |x|^n \)\(\displaystyle = n \; \)\(\displaystyle \Rightarrow \; a_n x^n\) ist keine Nullfolge \(\displaystyle \Rightarrow \; \sum\limits a_n x^n\) divergiert für \(\displaystyle |x| = 2\).Die Beispiele zeigen auch, dass für \(\displaystyle |x| = 1\) ist keine allgemeine Aussage möglich ist.

Satz 16M8 (Quotientenkriterium für Potenzreihen)

Sind fast alle \(\displaystyle a_n\not=0\) und existiert \(\displaystyle L:=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|\), so gilt für den Konvergenzradius \(\displaystyle r\) der Potenzreihe \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\):
\(\displaystyle r=L\)

Beweis

Wir setzen \(\displaystyle b_n:=a_n(x-x_0)^n\); dann gilt für \(\displaystyle x\not=x_0\):
\(\displaystyle \left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|\)\(\displaystyle =\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\cdot|x-x_0|\)
1. Fall: \(\displaystyle L=0\): \(\displaystyle \Rightarrow\;\; \left(\left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|\right)\) ist unbeschränkt.\(\displaystyle \Rightarrow\; \sum\limits b_n=\sum\limits a_n(x-x_0)^n\) ist divergent.\(\displaystyle \Rightarrow\; \sum\limits a_n(x-x_0)^n\) konvergiert nur für \(\displaystyle x=x_0\). \(\displaystyle \Rightarrow\; r=0\).2. Fall \(\displaystyle L>0\):\(\displaystyle \Rightarrow\; \lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|\) \(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\cdot|x-x_0|\)\(\displaystyle =\dfrac{1}{L}|x-x_0|\)\(\displaystyle \Rightarrow\; \sum\limits b_n=\sum\limits a_n(x-x_0)^n\) ist konvergent, falls \(\displaystyle \dfrac{1}{L}|x-x_0|<1\), und ist divergent für \(\displaystyle \dfrac{1}{L}|x-x_0|>1\) (Quotientenkriterium). Also konvergent für \(\displaystyle |x-x_0|<L\) und divergent für \(\displaystyle |x-x_0|>L\)\(\displaystyle \Rightarrow\; r=L\) \(\displaystyle \qed\)

Satz 16M9 (Produkt von Potenzreihen)

\(\displaystyle \sum\limits\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) und \(\displaystyle \sum\limits\limits_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\) seien zwei Potenzreihen mit Konvergenzradien \(\displaystyle r_1\) bzw \(\displaystyle r_2\).Wir setzen:
\(\displaystyle R:=\begin{cases}\min\{r_1,r_2\}& \text{falls }r_1<\infty \text oder r_2<\infty\\ \infty&\text{falls }r_1=\infty \text und r_2=\infty\end{cases}\)
Dann ist der Konvergenzradius des Cauchyproduktes der Reihen
\(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n\) wobei \(\displaystyle c_n:=\sum\limits\limits_{k=0}^n a_kb_{n-k}\)
\(\displaystyle \geq R\)
und es gilt:
\(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n\) \(\displaystyle =\left(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\right)\cdot\left(\sum\limits_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\right)\)
für \(\displaystyle |x-x_0|<R\).

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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