Absolute Konvergenz

Eine Reihe ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n heißt absolut konvergent, wenn die aus den Absolutbeträgen der Glieder gebildete Reihe ∑n=1∞∣an∣\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| konvergent ist.
Natürlich macht der Begriff der absoluten Konvergenz bei positiven Reihen keinen Sinn, da er hier mit dem Begriff der normalen Konvergenz übereinstimmt.

Satz 5410C

Ist die Reihe ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n absolut konvergent, so ist sie auch konvergent. D.h. Aus der absoluten Konvergenz einer Reihe kann man auf ihre Konvergenz schließen.

Beweis

Zum Beweis nutzt man das Cauchykriterium: Sei ε>0\varepsilon >0. Dann existiert n∈Nn\in \N mit ∣∑k=m+1nak∣≤∑k=m+1n∣ak∣≤ε\ntxbraceI{\sum\limits_{k=m+1}^n a_k}\leq \sum\limits_{k=m+1}^n |a_k|\leq \varepsilon für n>m>nεn>m>n_{\varepsilon} □\qed
Die Umkehrung von Satz 5410C gilt im Allgemeinen nicht. Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergent sind; z.B. die alternierende harmonische Reihe die konvergiert, die aus den Absolutbeträgen gebildete harmonische Reihe ist jedoch divergent.

Beispiel

Betrachten wir die Reihe 1+∑n=1∞xnn!1+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac {x^n}{n!} aus Beispiel 5410D. Sie ist für x≥0x\geq 0 konvergent. Damit ist sie auch absolut konvergent und also nach Satz 5410C für alle x∈Rx\in\dom R konvergent.
 
 

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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