Absolute Konvergenz

Eine Reihe n=1an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n heißt absolut konvergent, wenn die aus den Absolutbeträgen der Glieder gebildete Reihe n=1an\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| konvergent ist.
Natürlich macht der Begriff der absoluten Konvergenz bei positiven Reihen keinen Sinn, da er hier mit dem Begriff der normalen Konvergenz übereinstimmt.

Satz 5410C

Ist die Reihe n=1an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n absolut konvergent, so ist sie auch konvergent. D.h. Aus der absoluten Konvergenz einer Reihe kann man auf ihre Konvergenz schließen.
 
 

Beweis

Zum Beweis nutzt man das Cauchykriterium: Sei ε>0\varepsilon >0. Dann existiert nNn\in \N mit k=m+1nakk=m+1nakε\ntxbraceI{\sum\limits_{k=m+1}^n a_k}\leq \sum\limits_{k=m+1}^n |a_k|\leq \varepsilon für n>m>nεn>m>n_{\varepsilon} \qed
Die Umkehrung von Satz 5410C gilt im Allgemeinen nicht. Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergent sind; z.B. die alternierende harmonische Reihe die konvergiert, die aus den Absolutbeträgen gebildete harmonische Reihe ist jedoch divergent.

Beispiel

Betrachten wir die Reihe 1+n=1xnn!1+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac {x^n}{n!} aus Beispiel 5410D. Sie ist für x0x\geq 0 konvergent. Damit ist sie auch absolut konvergent und also nach Satz 5410C für alle xRx\in\dom R konvergent.

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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