Reihen und Nullfolgen

Satz 12Q8

Sei ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n eine konvergente Reihe, dann ist (an)(a_n) eine Nullfolge.

Beweis 1

sn=∑k=1naks_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k, also sn+1−sn=an+1s_{n+1}-s_n=a_{n+1} ⇒0=s−s=lim⁡sn+1−lim⁡sn \Rightarrow 0=s-s=\lim s_{n+1}-\lim s_n=lim⁡an+1 =\lim a_{n+1}. □\qed

Beweis 2

Nach Satz 12MU finden wir für jedes ϵ>0\epsilon>0 ein N∈NN\in\domN mit:
∣sn−sn−1∣=∣an∣<ϵ|s_n-s_{n-1}|=|a_n|<\epsilon.
Damit gilt an→0a_n\rightarrow 0 und (an)(a_n) ist eine Nullfolge. □\qed

Bemerkung

Die Umkehrung dieses Satzes wird gern benutzt, um die Divergenz gewisser Reihen zu zeigen. Wenn die Glieder einer Reihe keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe.

Die Umkehrung des Satzes gilt nicht, denn nicht jede Nullfolge lässt sich als konvergente Reihe aufsummieren, wie folgendes Beispiel zeigt:

Beispiel 12Q9 (Harmonische Reihe)

Die Reihe
∑k=1∞1k\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac 1 k(1)
heißt harmonische Reihe. Sie ist divergent. Um ihre Divergenz zu überprüfen, benutzen wir die Umkehrung von Satz 12Q8.
Die Glieder der harmonischen Reihe (1) können wir folgendermaßen zusammenfassen:
1+121+\dfrac 1 2 +13+14+\dfrac 1 3+\dfrac 1 4 +15+16+17+18+\dfrac 1 5+\dfrac 1 6+\dfrac 1 7+\dfrac 1 8 +...
>12>\dfrac 1 2 >214=12> 2\dfrac 1 4=\dfrac 1 2 >418=12> 4\dfrac 1 8=\dfrac 1 2 ...
Jede dieser Teilsummen ist größer als 12\dfrac 1 2 und es gibt von ihnen unendlich viele. Damit wächst ihre Summe über alle Maßen und die Reihe harmonische Reihe ist divergent.
 
 

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

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