Umordnung von Reihen

Sei π:NN\pi :\N\rightarrow \N bijektiv. Dann heißt
k=1aπ(k)\sum\limits_{k=1}^\infty a_{\pi(k)}
eine Umordnung der Reihe k=1ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_k.

Satz 16JV

Sei n=1cn\sum\limits_{n=1}^\infty c_n eine positive Reihe und konvergent mit c=n=1cnc=\sum\limits_{n=1}^\infty c_n. Dann gilt für alle bijektiven Abbildungen π:NN\pi :\N\rightarrow \N, dass k=1cπ(k)\sum\limits_{k=1}^\infty c_{\pi(k)} konvergiert und es ist c=k=1cπ(k)c=\sum\limits_{k=1}^\infty c_{\pi(k)}.
 
 

Beweis

Sei nNn \in \N und M:=max{π(1),,π(n)}M:=\max\{\pi(1),\ldots ,\pi(n)\} Dann ist nMn\leq M und wegen ck0c_k\geq 0 gilt k=1ncπ(k)\sum\limits_{k=1}^n c_{\pi(k)}k=1Mck \leq \sum\limits_{k=1}^M c_k k=1ck=c< \leq \sum\limits_{k=1}^\infty c_k=c<\infty also
(1)
k=1cπ(k)k=1ck\sum\limits_{k=1}^\infty c_{\pi(k)}\leq \sum\limits_{k=1}^\infty c_k.
Wenden wir die Ungleichung (1) auf die inverse Abbildung an, dann 1ck=1cπ1(π(k))\sum\limits_1^\infty c_k=\sum\limits_1^\infty c_{\pi^{-1}(\pi(k))}1cπ(k) \leq \sum\limits_1^\infty c_{\pi(k)} 1ck=1cπ(k) \Rightarrow \sum\limits_1^\infty c_k=\sum\limits_1^\infty c_{\pi(k)}. \qed

Satz 16JW

an\sum\limits a_n ist absolut konvergent genau dann, wenn für alle bijektiven Abbildungen π:NN\pi :\N \rightarrow \N die Umordnung 1aπ(k)\sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)} konvergiert. Ferner gilt für alle Bijektionen π\pi: k=1aπ(k)=k=1ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_{\pi(k)}=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k

Beweis

Sei 0an+:=max{an,0}0\leq a_n^+:=\max\{a_n,0\} =an+an2an = \dfrac{|a_n|+a_n}{2}\leq |a_n| sowie 0an:=min{an,0}0\leq a_n^-:=\min\{a_n,0\} =anan2an = \dfrac{|a_n|-a_n}{2}\leq |a_n|. Feststellung: ak=ak+aka_k=a_k^+ -a_k^- und ak=ak++ak |a_k|=a_k^++a_k^-. "\Rightarrow": Sei an\sum\limits a_n absolut konvergent.
Nach dem Majorantenkriterium sind an+ \sum\limits a_n^+ und an\sum\limits a_n^- konvergent. 1aπ(k)+=1ak+{\Rightarrow} \sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}^+=\sum\limits_1^\infty a_k^+, 1aπ(k)=1ak \sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}^-=\sum\limits_1^\infty a_k^- (Satz 16JV) 1aπ(k)\Rightarrow \sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}=1(aπ(k)+aπ(k)) =\sum\limits_1^\infty (a_{\pi(k)}^+-a_{\pi(k)}^-)=1aπ(k)+1aπ(k) =\sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}^+- \sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}^-=1ak+1ak =\sum\limits_1^\infty a_k^+-\sum\limits_1^\infty a_k^-=1(ak+ak) =\sum\limits_1^\infty (a_k^+-a_k^-)=1ak =\sum\limits_1^\infty a_k. "\Leftarrow": Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Reihe für alle Bijektionen konvergiert aber an\sum\limits |a_n| divergent ist. OBdA. sei an\sum\limits a_n konvergent (sonst ist π=id\pi=\id eine nicht konvergente Umordnung). ak+=\Rightarrow \sum\limits a_k^+=\infty und ak=\sum\limits a_k^-=\infty
Sei (aφ+(k))(a_{\varphi_+(k)}) Teilfolge aller ak>0a_k>0 und (aφ(k))(a_{\varphi_-(k)}) Teilfolge aller ak0a_k\leq 0. sn±:=k=1nak±s_n^\pm:=\sum\limits_{k=1}^n a_k^±, tn±t_n^±:=k=1naφ±(k) :=\sum\limits_{k=1}^n a_{\varphi_±(k)} sn+tn+s_n^+\leq t_n^+ (da tn+t_n^+ nur positiv, bei sn+s_n^+ kann auch die 0 enthalten sein) sn=tns_n^-=-t_n^- limntn+=1aφ+(k)= \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} t_n^+=\sum\limits_1^\infty a_{\varphi_+(k)}=\infty und limntn=1aφ(k)= \lim_{n\rightarrow \infty} t_n^-=\sum\limits_1^\infty a_{\varphi_-(k)}=-\infty Widerspruch. \qed

Definitionen

Eine konvergente Reihe heißt genau dann unbedingt konvergent, wenn alle Umordnungen konvergent sind. Eine konvergente Reihe heißt bedingt konvergent, wenn sie nicht unbedingt konvergent ist. Satz Satz 16JW besagt, dass unbedingt konvergente Reihen genau den absolut konvergenten Reihen entsprechen.

Satz 16JX (Riemannsche Umordnungssatz)

Sei 1ak\sum\limits_1^\infty a_k bedingt konvergent. Dann gibt es für alle SRS \in \R eine Bijektion π:NN \pi :\N\rightarrow\N, so dass 1aπ(k)=S \sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}=S.
Bedingte Konvergenz bedeutet, dass sich die Reihe stets so umordnen lässt, dass jede beliebige reelle Zahl als Grenzwert angenommen wird.

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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