Umordnung von Reihen

Sei π:N→N\pi :\N\rightarrow \N bijektiv. Dann heißt
∑k=1∞aπ(k)\sum\limits_{k=1}^\infty a_{\pi(k)}
eine Umordnung der Reihe ∑k=1∞ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_k.

Satz 16JV

Sei ∑n=1∞cn\sum\limits_{n=1}^\infty c_n eine positive Reihe und konvergent mit c=∑n=1∞cnc=\sum\limits_{n=1}^\infty c_n. Dann gilt für alle bijektiven Abbildungen π:N→N\pi :\N\rightarrow \N, dass ∑k=1∞cπ(k)\sum\limits_{k=1}^\infty c_{\pi(k)} konvergiert und es ist c=∑k=1∞cπ(k)c=\sum\limits_{k=1}^\infty c_{\pi(k)}.

Beweis

Sei n∈Nn \in \N und M:=max⁡{π(1),…,π(n)}M:=\max\{\pi(1),\ldots ,\pi(n)\} Dann ist n≤Mn\leq M und wegen ck≥0c_k\geq 0 gilt ∑k=1ncπ(k)\sum\limits_{k=1}^n c_{\pi(k)}≤∑k=1Mck \leq \sum\limits_{k=1}^M c_k ≤∑k=1∞ck=c<∞ \leq \sum\limits_{k=1}^\infty c_k=c<\infty also
∑k=1∞cπ(k)≤∑k=1∞ck\sum\limits_{k=1}^\infty c_{\pi(k)}\leq \sum\limits_{k=1}^\infty c_k. (1)
Wenden wir die Ungleichung (1) auf die inverse Abbildung an, dann ∑1∞ck=∑1∞cπ−1(π(k))\sum\limits_1^\infty c_k=\sum\limits_1^\infty c_{\pi^{-1}(\pi(k))}≤∑1∞cπ(k) \leq \sum\limits_1^\infty c_{\pi(k)} ⇒∑1∞ck=∑1∞cπ(k) \Rightarrow \sum\limits_1^\infty c_k=\sum\limits_1^\infty c_{\pi(k)}. □\qed

Satz 16JW

∑an\sum\limits a_n ist absolut konvergent genau dann, wenn für alle bijektiven Abbildungen π:N→N\pi :\N \rightarrow \N die Umordnung ∑1∞aπ(k)\sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)} konvergiert. Ferner gilt für alle Bijektionen π\pi: ∑k=1∞aπ(k)=∑k=1∞ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_{\pi(k)}=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k

Beweis

Sei 0≤an+:=max⁡{an,0}0\leq a_n^+:=\max\{a_n,0\} =∣an∣+an2≤∣an∣ = \dfrac{|a_n|+a_n}{2}\leq |a_n| sowie 0≤an−:=min⁡{an,0}0\leq a_n^-:=\min\{a_n,0\} =∣an∣−an2≤∣an∣ = \dfrac{|a_n|-a_n}{2}\leq |a_n|. Feststellung: ak=ak+−ak−a_k=a_k^+ -a_k^- und ∣ak∣=ak++ak− |a_k|=a_k^++a_k^-. "⇒\Rightarrow": Sei ∑an\sum\limits a_n absolut konvergent.
Nach dem Majorantenkriterium sind ∑an+ \sum\limits a_n^+ und ∑an−\sum\limits a_n^- konvergent. ⇒∑1∞aπ(k)+=∑1∞ak+{\Rightarrow} \sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}^+=\sum\limits_1^\infty a_k^+, ∑1∞aπ(k)−=∑1∞ak− \sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}^-=\sum\limits_1^\infty a_k^- (Satz 16JV) ⇒∑1∞aπ(k)\Rightarrow \sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}=∑1∞(aπ(k)+−aπ(k)−) =\sum\limits_1^\infty (a_{\pi(k)}^+-a_{\pi(k)}^-)=∑1∞aπ(k)+−∑1∞aπ(k)− =\sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}^+- \sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}^-=∑1∞ak+−∑1∞ak− =\sum\limits_1^\infty a_k^+-\sum\limits_1^\infty a_k^-=∑1∞(ak+−ak−) =\sum\limits_1^\infty (a_k^+-a_k^-)=∑1∞ak =\sum\limits_1^\infty a_k. "⇐\Leftarrow": Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Reihe für alle Bijektionen konvergiert aber ∑∣an∣\sum\limits |a_n| divergent ist. OBdA. sei ∑an\sum\limits a_n konvergent (sonst ist π=id⁡\pi=\id eine nicht konvergente Umordnung). ⇒∑ak+=∞\Rightarrow \sum\limits a_k^+=\infty und ∑ak−=∞\sum\limits a_k^-=\infty
Sei (aφ+(k))(a_{\varphi_+(k)}) Teilfolge aller ak>0a_k>0 und (aφ−(k))(a_{\varphi_-(k)}) Teilfolge aller ak≤0a_k\leq 0. sn±:=∑k=1nak±s_n^\pm:=\sum\limits_{k=1}^n a_k^±, tn±t_n^±:=∑k=1naφ±(k) :=\sum\limits_{k=1}^n a_{\varphi_±(k)} sn+≤tn+s_n^+\leq t_n^+ (da tn+t_n^+ nur positiv, bei sn+s_n^+ kann auch die 0 enthalten sein) sn−=−tn−s_n^-=-t_n^- ⇒lim⁡n→∞tn+=∑1∞aφ+(k)=∞ \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} t_n^+=\sum\limits_1^\infty a_{\varphi_+(k)}=\infty und lim⁡n→∞tn−=∑1∞aφ−(k)=−∞ \lim_{n\rightarrow \infty} t_n^-=\sum\limits_1^\infty a_{\varphi_-(k)}=-\infty Widerspruch. □\qed

Definitionen

Eine konvergente Reihe heißt genau dann unbedingt konvergent, wenn alle Umordnungen konvergent sind. Eine konvergente Reihe heißt bedingt konvergent, wenn sie nicht unbedingt konvergent ist. Satz Satz 16JW besagt, dass unbedingt konvergente Reihen genau den absolut konvergenten Reihen entsprechen.

Satz 16JX (Riemannsche Umordnungssatz)

Sei ∑1∞ak\sum\limits_1^\infty a_k bedingt konvergent. Dann gibt es für alle S∈RS \in \R eine Bijektion π:N→N \pi :\N\rightarrow\N, so dass ∑1∞aπ(k)=S \sum\limits_1^\infty a_{\pi(k)}=S.
Bedingte Konvergenz bedeutet, dass sich die Reihe stets so umordnen lässt, dass jede beliebige reelle Zahl als Grenzwert angenommen wird.
 
 

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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