Majorantenkriterium

Satz 12QB (Majorantenkriterium)

Seien ∑k=1∞ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_k und ∑k=1∞bk\sum\limits_{k=1}^\infty b_k zwei Reihen für die ∣ak∣≤bk|a_k|\leq b_k für alle kk gelte.
Dann folgt aus der Konvergenz von ∑k=1∞bk\sum\limits_{k=1}^\infty b_k auch die Konvergenz von ∑k=1∞ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_k.

Beweis

Nach Satz 12MU gibt es zu jedem ϵ>0\epsilon>0 ein N∈NN\in\domN mit
∑k=lnbk<ϵ\sum\limits_{k=l}^n b_k<\epsilon für n≥l≥Nn\geq l\geq N.
Unter Benutzung der verallgemeinerten Dreiecksungleichung gilt folgende Abschätzung:
∣∑k=lnak∣≤∑k=ln∣ak∣≤∑k=lnbk<ϵ\ntxbraceI{\sum\limits_{k=l}^n a_k}\leq \sum\limits_{k=l}^n |a_k|\leq\sum\limits_{k=l}^n b_k<\epsilon
Damit konvergiert die Reihe ∑k=1∞ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_k. □\qed
 
 

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

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