Verallgemeinerte Dreiecksungleichung

Die verallgemeinerte Dreiecksungleichung erweitert die Dreiecksungleichung aus Satz 5221C auf endlich viele Summanden.

Satz 5221D (Verallgemeinerte Dreiecksungleichung)

Seien für n∈Nn\in \dom N mit n≥1n\geq1 die a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n reelle Zahlen, dann gilt:
∣a1+a2+…+an∣≤∣a1∣+∣a2∣+…+∣an∣|a_1+a_2+\ldots+a_n|\leq |a_1|+|a_2|+\ldots+|a_n|
oder in Summenschreibweise:
∣∑i=1nai∣≤∑i=1n∣ai∣\ntxbraceI{\sum\limits_{i=1}^n a_i}\leq \sum\limits_{i=1}^n |a_i|
 
 

Beweis

Wir führen den Beweis mittels vollständiger Induktion unter Benutzung der Dreiecksungleichung aus Satz 5221C (iv). Induktionsanfang: Für n=1n=1 ist die Behauptung trivial.
Induktionsschritt: ∣∑i=1n+1ai∣=∣∑i=1nai+an+1∣\ntxbraceI{\sum\limits_{i=1}^{n+1} a_i} = \ntxbraceI{\sum\limits_{i=1}^{n} a_i + a_{n+1}} ≤∣∑i=1nai∣+∣an+1∣\leq \ntxbraceI{\sum\limits_{i=1}^{n} a_i} + |a_{n+1}| (nach Dreiecksungleichung) ≤∑i=1n∣ai∣+∣an+1∣\leq \sum\limits_{i=1}^{n} |a_i| + |a_{n+1}| (nach Induktionsvoraussetzung) =∑i=1n+1∣ai∣=\sum\limits_{i=1}^{n+1} |a_i| □\qed

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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