Intervallschachtelung

Man spricht von einer Intervallschachtelung, wenn zwei (oder mehrere) Intervalle ineinander enthalten sind. Seien [a1,b1][a_1,b_1] und [a2,b2][a_2,b_2] zwei Intervalle und gilt [a2,b2]⊆[a1,b1][a_2,b_2]\subseteq [a_1,b_1], dann sind sie ineinander geschachtelt. Es muss dann folgende Ungleichung gelten:
a1≤a2≤b2≤b1a_1\leq a_2\leq b_2\leq b_1(1)
.

Satz 5729C (Intervallschachtelung abgeschlossener Intervalle)

Der Durchschnitt einer Folge ineinander geschachtelter abgeschlossener Intervalle ist nicht leer.
Seien also [ak,bk][a_k,b_k] für k∈Nk\in \domN abgeschlossene Intervalle mit der Eigenschaft:
[ak+1,bk+1]⊆[ak,bk][a_{k+1},b_{k+1}]\subseteq [a_k,b_k] für alle kk.
Dann gilt:
⋂k=1∞[ak,bk]≠∅\bigcap\limits_{k=1}^\infty [a_k,b_k]\neq \emptyset.

Beweis

Analog zu (1) gelten folgende Ungleichungen
a1≤a2≤…≤ak≤…≤bk≤…b2≤b1a_1\leq a_2\leq \ldots \leq a_k\leq\ldots \leq b_k\leq\ldots b_2\leq b_1.(2)
Damit ist die Menge
A={ak∣ k∈N}A=\{a_k| \, k\in\domN\}
nach oben beschränkt (jedes bkb_k ist eine obere Schranke). Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert dann das Supremum x=sup⁡Ax=\sup A.
Wir zeigen, dass xx zu allen Intervallen gehört. Für jedes beliebige kk gilt wegen der Supremumseigenschaft x≥akx\geq a_k. Um zu zeigen, dass auch x≤bkx\leq b_k gilt, nehmen wir an, dass x>bkx>b_k ist. Nach (2) ist aber dieses bkb_k obere Schranke von AA und kleiner als xx im Widerspruch dazu, dass x das Supremum von AA war.
Damit muss aber x∈[ak,bk]x\in[a_k,b_k] gelten und da kk beliebig gewählt war, muss xx in jedem Intervall der Schachtelung liegen, also auch in deren Durchschnitt. □\qed
Dieser Satz drückt ebenso wie das Vollständigkeitsaxiom aus, dass es auf der reellen Zahlengerade keine Löcher gibt.

Beispiele

Sei ak=0a_k=0 und bk=1kb_k=\dfrac 1 k, dann ist ⋂k=1∞[ak,bk]=⋂k=1∞[0,1k]={0}\bigcap\limits_{k=1}^\infty [a_k,b_k]=\bigcap\limits_{k=1}^\infty \ntxbraceL{0,\dfrac 1 k}=\{0\}.
Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Abgeschlossenheit der Intervalle zwingend vorausgesetzt werden muss, denn ⋂k=1∞]ak,bk]=∅\bigcap\limits_{k=1}^\infty ]a_k,b_k]=\emptyset.
 
 

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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