Intervallschachtelung

Man spricht von einer Intervallschachtelung, wenn zwei (oder mehrere) Intervalle ineinander enthalten sind. Seien [a1,b1][a_1,b_1] und [a2,b2][a_2,b_2] zwei Intervalle und gilt [a2,b2][a1,b1][a_2,b_2]\subseteq [a_1,b_1], dann sind sie ineinander geschachtelt. Es muss dann folgende Ungleichung gelten:
a1a2b2b1a_1\leq a_2\leq b_2\leq b_1(1)
.

Satz 5729C (Intervallschachtelung abgeschlossener Intervalle)

Der Durchschnitt einer Folge ineinander geschachtelter abgeschlossener Intervalle ist nicht leer.
Seien also [ak,bk][a_k,b_k] für kNk\in \domN abgeschlossene Intervalle mit der Eigenschaft:
[ak+1,bk+1][ak,bk][a_{k+1},b_{k+1}]\subseteq [a_k,b_k] für alle kk.
Dann gilt:
k=1[ak,bk]\bigcap\limits_{k=1}^\infty [a_k,b_k]\neq \emptyset.

Beweis

Analog zu (1) gelten folgende Ungleichungen
a1a2akbkb2b1a_1\leq a_2\leq \ldots \leq a_k\leq\ldots \leq b_k\leq\ldots b_2\leq b_1.(2)
Damit ist die Menge
A={akkN}A=\{a_k| \, k\in\domN\}
nach oben beschränkt (jedes bkb_k ist eine obere Schranke). Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert dann das Supremum x=supAx=\sup A.
Wir zeigen, dass xx zu allen Intervallen gehört. Für jedes beliebige kk gilt wegen der Supremumseigenschaft xakx\geq a_k. Um zu zeigen, dass auch xbkx\leq b_k gilt, nehmen wir an, dass x>bkx>b_k ist. Nach (2) ist aber dieses bkb_k obere Schranke von AA und kleiner als xx im Widerspruch dazu, dass x das Supremum von AA war.
Damit muss aber x[ak,bk]x\in[a_k,b_k] gelten und da kk beliebig gewählt war, muss xx in jedem Intervall der Schachtelung liegen, also auch in deren Durchschnitt. \qed
Dieser Satz drückt ebenso wie das Vollständigkeitsaxiom aus, dass es auf der reellen Zahlengerade keine Löcher gibt.

Beispiele

Sei ak=0a_k=0 und bk=1kb_k=\dfrac 1 k, dann ist k=1[ak,bk]=k=1[0,1k]={0}\bigcap\limits_{k=1}^\infty [a_k,b_k]=\bigcap\limits_{k=1}^\infty \ntxbraceL{0,\dfrac 1 k}=\{0\}.
Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Abgeschlossenheit der Intervalle zwingend vorausgesetzt werden muss, denn k=1]ak,bk]=\bigcap\limits_{k=1}^\infty ]a_k,b_k]=\emptyset.
 
 

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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