Ungleichungen

Da es sich bei den reellen Zahlen um einen angeordneten Körper handelt, können wir Ungleichungen formulieren. Die Schreibweise \(\displaystyle a<b\) bedeutet \(\displaystyle a\) ist kleiner als \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle a>b\) bedeutet \(\displaystyle a\) ist größer als \(\displaystyle b\). Ferner:
\(\displaystyle a \le b \iff a \lt b\) oder \(\displaystyle a=b\),
\(\displaystyle a\ge b \iff a>b\) oder \(\displaystyle a=b\).

Eigenschaften

Trichotomiegesetz

Für je zwei reelle Zahlen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) gilt genau eine der folgenden Beziehungen:
  • \(\displaystyle a<b\)
  • \(\displaystyle a=b\)
  • \(\displaystyle a>b\)
 
 

Addition und Subtraktion

Für beliebige reelle Zahlen \(\displaystyle a, b, c\) und \(\displaystyle d\) gilt:
  • Wenn \(\displaystyle a>b\), dann ist \(\displaystyle a+c>b+c\) und \(\displaystyle a-c>b-c\).
  • Wenn \(\displaystyle a<b\), dann ist \(\displaystyle a+c<b+c\) und \(\displaystyle a-c<b-c\).
  • Wenn \(\displaystyle a<b\) und \(\displaystyle c<d\), dann ist \(\displaystyle a+c<b+d\) und \(\displaystyle a-d<b-c\).

Multiplikation und Division

Für beliebige reelle Zahlen \(\displaystyle a, b\) und \(\displaystyle c\) gilt \(\displaystyle (c\ne 0)\):
  • Wenn \(\displaystyle c\) positiv ist und \(\displaystyle a>b\), dann ist \(\displaystyle ac>bc\) und \(\displaystyle a/c>b/c\)
  • Wenn \(\displaystyle c\) positiv ist und \(\displaystyle a<b\), dann ist \(\displaystyle ac<bc\) und \(\displaystyle a/c<b/c\)
  • Wenn \(\displaystyle c\) negativ ist und \(\displaystyle a>b\), dann ist \(\displaystyle ac<bc\) und \(\displaystyle a/c<b/c\)
  • Wenn \(\displaystyle c\) negativ ist und \(\displaystyle a<b\), dann ist \(\displaystyle ac>bc\) und \(\displaystyle a/c>b/c\)

Spezielle Ungleichungen

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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