Beispiele für Ungleichungen

Beispiel 16FK

Man zeige für alle x,y∈Rx,y\in\R mit x,y>0x,y>0, dass xn+ynxn+1+yn+1≤2x+y\dfrac {x^n+y^n}{x^{n+1}+y^{n+1}}\leq \dfrac 2{x+y} gilt.

Lösung

Obda sei x>y>0x>y>0,   ⟹  (xy)n≥1\implies \left(\dfrac x y\right)^n\geq 1   ⟹  (xy)n(xy−1)≥xy−1\implies \left(\dfrac x y\right)^n\left(\dfrac x y -1\right)\geq \dfrac x y -1   ⟹  (xy)n+1−(xy)n≥xy−1\implies\left(\dfrac x y\right)^{n+1}-\left(\dfrac x y\right)^n\geq \dfrac x y -1   ⟹  xy+(xy)n≤(xy)n+1+1\implies \dfrac x y+\left(\dfrac x y\right)^n\leq \left(\dfrac x y\right)^{n+1}+1   ⟹  xyn+yxn≤xn+1+yn+1\implies xy^n+yx^n\leq x^{n+1}+y^{n+1}   ⟹  xn+1+yn+1+xyn+yxn≤2(xn+1+yn+1)\implies x^{n+1}+y^{n+1}+xy^n+yx^n\leq 2(x^{n+1}+y^{n+1})   ⟹  (xn+yn)(x+y)≤2(xn+1+yn+1)\implies (x^n+y^n)(x+y)\leq 2(x^{n+1}+y^{n+1})   ⟹  xn+ynxn+1+yn+1≤2x+y\implies \dfrac {x^n+y^n}{x^{n+1}+y^{n+1}}\leq \dfrac 2{x+y}
 
 

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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