Mittelwerte

Seien aa und bb zwei positive reelle Zahlen, dann heißt die Zahl
mA(a,b)=a+b2m_A(a,b)=\dfrac {a+b} 2
arithmetisches Mittel der Zahlen. Die Zahl
mG(a,b)=abm_G(a,b)=\sqrt{ab}
heißt geometrisches Mittel und die Zahl
mH(a,b)=21a+1b=2aba+bm_H(a,b)=\dfrac 2 {\dfrac 1 a + \dfrac 1 b}=\dfrac{2ab}{a+b}
heißt harmonisches Mittel.
Die Bezeichnung Mittel ist dadurch motiviert, das es immer zwischen den Ausgangswerten liegt. Außerdem sind die Mittel durch Ungleichungen miteinander verbunden:
 
 

Satz 5221E (Ungleichungen zwischen Mittelwerten)

Für zwei reelle Zahlen a,b>0a,b>0 gilt folgende Ungleichung:
min(a,b)mH(a,b)\min(a,b)\leq m_H(a,b) mG(a,b)\leq m_G(a,b) mA(a,b)max(a,b)\leq m_A(a,b)\leq\max(a,b),
also:
min(a,b)21a+1b\min(a,b)\leq\dfrac 2 {\dfrac 1 a + \dfrac 1 b} aba+b2\leq \sqrt{ab}\leq \dfrac {a+b} 2 max(a,b)\leq\max(a,b).

Beweis

Harmonisches Mittel \leq geometrisches Mittel:
0(ab)20\leq (a-b)^2 (ist als Quadratzahl 0\geq 0)
    0a22ab+b2\implies 0\leq a^2-2ab+b^2     4aba2+2ab+b2\implies 4ab\leq a^2+2ab+b^2
    4ab(a+b)2\implies 4ab\leq (a+b)^2     4a2b2ab(a+b)2\implies 4a^2b^2\leq ab(a+b)^2
    4a2b2(a+b)2ab\implies \dfrac {4a^2b^2}{(a+b)^2}\leq ab
    2ab(a+b)ab\implies \dfrac {2ab}{(a+b)}\leq \sqrt{ab}
    21a+1bab\implies \dfrac 2 {\dfrac 1 a + \dfrac 1 b}\leq \sqrt{ab}
Geometrisches Mittel \leq arithmetisches Mittel:
Für diese Ungleichung gehen wir oben hergeleiteten Teilresultat 4ab(a+b)24ab\leq (a+b)^2 aus, und erhalten 2ab(a+b)2\sqrt{ab}\leq (a+b) woraus die Behauptung folgt.
Für den Vergleich mit dem Minimum und Maximum nehmen wir obdA. aba\leq b an; und zeigen a<2aba+ba< \dfrac{2ab}{a+b} bzw. a+b2b\dfrac {a+b} 2 \leq b.
Wegen aba\leq b ist a+b2ba+b\leq 2b, also a+b2b\dfrac {a+b} 2 \leq b.
Andererseits ist ab<0a-b<0, also a(ab)0a(a-b)\leq 0     a2ab0\follows a^2-ab\leq 0     a2+ab2ab\follows a^2+ab\leq 2ab     a(a+b)2ab    a2aba+b\follows a(a+b)\leq 2ab\follows a\leq\dfrac{2ab}{a+b}. \qed

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

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