Mittelwerte
Seien
a a a und
b b b zwei positive
reelle Zahlen , dann heißt die Zahl
m A ( a , b ) = a + b 2 m_A(a,b)=\dfrac {a+b} 2 m A ( a , b ) = 2 a + b arithmetisches Mittel der Zahlen. Die Zahl
m G ( a , b ) = a b m_G(a,b)=\sqrt{ab} m G ( a , b ) = a b
heißt
geometrisches Mittel und die Zahl
m H ( a , b ) = 2 1 a + 1 b = 2 a b a + b m_H(a,b)=\dfrac 2 {\dfrac 1 a + \dfrac 1 b}=\dfrac{2ab}{a+b} m H ( a , b ) = a 1 + b 1 2 = a + b 2 a b
heißt
harmonisches Mittel .
Die Bezeichnung Mittel ist dadurch motiviert, das es immer zwischen den Ausgangswerten liegt. Außerdem sind die Mittel durch
Ungleichungen miteinander verbunden:
Satz 5221E (Ungleichungen zwischen Mittelwerten)
min ( a , b ) ≤ m H ( a , b ) \min(a,b)\leq m_H(a,b) min ( a , b ) ≤ m H ( a , b ) ≤ m G ( a , b ) \leq m_G(a,b) ≤ m G ( a , b ) ≤ m A ( a , b ) ≤ max ( a , b ) \leq m_A(a,b)\leq\max(a,b) ≤ m A ( a , b ) ≤ max ( a , b ) ,
also:
min ( a , b ) ≤ 2 1 a + 1 b \min(a,b)\leq\dfrac 2 {\dfrac 1 a + \dfrac 1 b} min ( a , b ) ≤ a 1 + b 1 2 ≤ a b ≤ a + b 2 \leq \sqrt{ab}\leq \dfrac {a+b} 2 ≤ a b ≤ 2 a + b ≤ max ( a , b ) \leq\max(a,b) ≤ max ( a , b ) .
Beweis
Harmonisches Mittel ≤ \leq ≤ geometrisches Mittel :
0 ≤ ( a − b ) 2 0\leq (a-b)^2 0 ≤ ( a − b ) 2 (ist als
Quadratzahl ≥ 0 \geq 0 ≥ 0 )
⟹ 0 ≤ a 2 − 2 a b + b 2 \implies 0\leq a^2-2ab+b^2 ⟹ 0 ≤ a 2 − 2 a b + b 2 ⟹ 4 a b ≤ a 2 + 2 a b + b 2 \implies 4ab\leq a^2+2ab+b^2 ⟹ 4 a b ≤ a 2 + 2 a b + b 2 ⟹ 4 a b ≤ ( a + b ) 2 \implies 4ab\leq (a+b)^2 ⟹ 4 a b ≤ ( a + b ) 2 ⟹ 4 a 2 b 2 ≤ a b ( a + b ) 2 \implies 4a^2b^2\leq ab(a+b)^2 ⟹ 4 a 2 b 2 ≤ a b ( a + b ) 2 ⟹ 4 a 2 b 2 ( a + b ) 2 ≤ a b \implies \dfrac {4a^2b^2}{(a+b)^2}\leq ab ⟹ ( a + b ) 2 4 a 2 b 2 ≤ a b ⟹ 2 a b ( a + b ) ≤ a b \implies \dfrac {2ab}{(a+b)}\leq \sqrt{ab} ⟹ ( a + b ) 2 a b ≤ a b ⟹ 2 1 a + 1 b ≤ a b \implies \dfrac 2 {\dfrac 1 a + \dfrac 1 b}\leq \sqrt{ab} ⟹ a 1 + b 1 2 ≤ a b Geometrisches Mittel ≤ \leq ≤ arithmetisches Mittel :
Für diese
Ungleichung gehen wir oben hergeleiteten Teilresultat
4 a b ≤ ( a + b ) 2 4ab\leq (a+b)^2 4 a b ≤ ( a + b ) 2 aus, und erhalten
2 a b ≤ ( a + b ) 2\sqrt{ab}\leq (a+b) 2 a b ≤ ( a + b ) woraus die Behauptung folgt.
Für den Vergleich mit dem
Minimum und
Maximum nehmen wir obdA.
a ≤ b a\leq b a ≤ b an; und zeigen
a < 2 a b a + b a< \dfrac{2ab}{a+b} a < a + b 2 a b bzw.
a + b 2 ≤ b \dfrac {a+b} 2 \leq b 2 a + b ≤ b .
Wegen
a ≤ b a\leq b a ≤ b ist
a + b ≤ 2 b a+b\leq 2b a + b ≤ 2 b , also
a + b 2 ≤ b \dfrac {a+b} 2 \leq b 2 a + b ≤ b .
Andererseits ist
a − b < 0 a-b<0 a − b < 0 , also
a ( a − b ) ≤ 0 a(a-b)\leq 0 a ( a − b ) ≤ 0 ⟹ a 2 − a b ≤ 0 \follows a^2-ab\leq 0 ⟹ a 2 − a b ≤ 0 ⟹ a 2 + a b ≤ 2 a b \follows a^2+ab\leq 2ab ⟹ a 2 + a b ≤ 2 a b ⟹ a ( a + b ) ≤ 2 a b ⟹ a ≤ 2 a b a + b \follows a(a+b)\leq 2ab\follows a\leq\dfrac{2ab}{a+b} ⟹ a ( a + b ) ≤ 2 a b ⟹ a ≤ a + b 2 a b .
□ \qed □ In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.
K. Urbanik
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