Angeordnete Körper

\(\displaystyle (K,\leq)\) heißt angeordneter Körper, falls \(\displaystyle K\) Körper und \(\displaystyle \leq\) lineare Ordnung von \(\displaystyle K\) ist und für alle \(\displaystyle a, b, c \in K\) gilt
  1. \(\displaystyle a \leq b \) \(\displaystyle \implies a + c \leq b + c\)
  2. \(\displaystyle 0 \leq a, b \)\(\displaystyle \implies 0 \leq ab\, \)
Man schreibt \(\displaystyle a\geq b\) für \(\displaystyle b \leq a\) und definiert \(\displaystyle a<b:=a\leq b \and a\neq b\).

Satz 16L5

  1. \(\displaystyle a<b\implies a+c<b+c\)
  2. \(\displaystyle a<b\) und \(\displaystyle c>0\) \(\displaystyle \implies ac<bc\)
 
 

Beweis

(i) Sei \(\displaystyle a<b\) \(\displaystyle \implies a\leq b\) \(\displaystyle \implies a+c\leq b+c\) \(\displaystyle \implies a+c<b+c\), da \(\displaystyle a\neq b\).(ii) Sei \(\displaystyle a<b\) \(\displaystyle \implies a\leq b\) \(\displaystyle \implies ac\leq bc\) \(\displaystyle \implies ac<bc\), da \(\displaystyle a\neq b\) und \(\displaystyle c\neq 0\). \(\displaystyle \qed\)

Satz 16L6

  1. \(\displaystyle a\leq b\implies \uminus b\leq\uminus a\) und \(\displaystyle a<b\implies -b<-a\). Speziell gilt \(\displaystyle a>0\) \(\displaystyle \implies -a<0\).
  2. \(\displaystyle a\leq b\and c\leq d\implies a+c\leq b+d\)
  3. \(\displaystyle a\neq 0\implies aa > 0\); speziell \(\displaystyle 1=1\cdot 1>0\) und mit der Monotonie \(\displaystyle a<a+1\)
  4. \(\displaystyle a>0 \implies \dfrac 1 a >0\)
  5. \(\displaystyle 0<a<b\implies \dfrac 1 b < \dfrac 1 a\)
  6. \(\displaystyle a<b\) und \(\displaystyle b>0\) sowie \(\displaystyle 0<c<d\)\(\displaystyle \implies ac < bd\)
  7. \(\displaystyle a,b > 0\), dann gilt: \(\displaystyle a<b\implies a^2 < b^2\)

Beweis

(i) \(\displaystyle a\leq b \implies a-b\leq 0\implies\uminus b\leq\uminus a\). Für \(\displaystyle <\) analog.
(ii) \(\displaystyle a\leq b\implies a+c\leq b+c\) und \(\displaystyle c\leq d\implies b+c\leq b+d\) und mit der Transitivität von \(\displaystyle \leq\) folgt die Behauptung.
(iii) Fall 1: \(\displaystyle a>0\). Dann ist wegen der Monotonie \(\displaystyle a\cdot a >0\). Fall 2: \(\displaystyle a<0\). Dann ist \(\displaystyle a\cdot a =(-a)\cdot(-a) > 0\) weil \(\displaystyle (-a)>0\) nach (i).
(iv) Wir multiplizieren \(\displaystyle 0<1\) mit \(\displaystyle \dfrac 1 a\) und erhalten die Behauptung.
(v) Wir multiplizieren mit \(\displaystyle \dfrac 1 a\) und \(\displaystyle \dfrac 1 b\) und benutzen (iv).
(vi) \(\displaystyle 0<a<b\) \(\displaystyle \implies ac<bc\) und \(\displaystyle 0<c<d\) \(\displaystyle \implies bc<bd\), also \(\displaystyle ac<bd\).
(vii) Folgt direkt aus (vi) mit \(\displaystyle a=c\) und \(\displaystyle b=d\). \(\displaystyle \qed\)

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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