Angeordnete Körper

(K,≤)(K,\leq) heißt angeordneter Körper, falls KK Körper und ≤\leq lineare Ordnung von KK ist und für alle a,b,c∈Ka, b, c \in K gilt
  1. a≤ba \leq b   ⟹  a+c≤b+c \implies a + c \leq b + c
  2. 0≤a,b0 \leq a, b   ⟹  0≤ab  \implies 0 \leq ab\,
Man schreibt a≥ba\geq b für b≤ab \leq a und definiert a<b:=a≤b∧a≠ba<b:=a\leq b \and a\neq b.

Satz 16L5

  1. a<b  ⟹  a+c<b+ca<b\implies a+c<b+c
  2. a<ba<b und c>0c>0   ⟹  ac<bc\implies ac<bc
 
 

Beweis

(i) Sei a<ba<b   ⟹  a≤b\implies a\leq b   ⟹  a+c≤b+c\implies a+c\leq b+c   ⟹  a+c<b+c\implies a+c<b+c, da a≠ba\neq b. (ii) Sei a<ba<b   ⟹  a≤b\implies a\leq b   ⟹  ac≤bc\implies ac\leq bc   ⟹  ac<bc\implies ac<bc, da a≠ba\neq b und c≠0c\neq 0. □\qed

Satz 16L6

  1. a≤b  ⟹  −b≤−aa\leq b\implies \uminus b\leq\uminus a und a<b  ⟹  −b<−aa<b\implies -b<-a. Speziell gilt a>0a>0   ⟹  −a<0\implies -a<0.
  2. a≤b∧c≤d  ⟹  a+c≤b+da\leq b\and c\leq d\implies a+c\leq b+d
  3. a≠0  ⟹  aa>0a\neq 0\implies aa > 0; speziell 1=1⋅1>01=1\cdot 1>0 und mit der Monotonie a<a+1a<a+1
  4. a>0  ⟹  1a>0a>0 \implies \dfrac 1 a >0
  5. 0<a<b  ⟹  1b<1a0<a<b\implies \dfrac 1 b < \dfrac 1 a
  6. a<ba<b und b>0b>0 sowie 0<c<d 0<c<d  ⟹  ac<bd \implies ac < bd
  7. a,b>0a,b > 0, dann gilt: a<b  ⟹  a2<b2a<b\implies a^2 < b^2

Beweis

(i) a≤b  ⟹  a−b≤0  ⟹  −b≤−aa\leq b \implies a-b\leq 0\implies\uminus b\leq\uminus a. Für << analog.
(ii) a≤b  ⟹  a+c≤b+ca\leq b\implies a+c\leq b+c und c≤d  ⟹  b+c≤b+dc\leq d\implies b+c\leq b+d und mit der Transitivität von ≤\leq folgt die Behauptung.
(iii) Fall 1: a>0a>0. Dann ist wegen der Monotonie a⋅a>0a\cdot a >0. Fall 2: a<0a<0. Dann ist a⋅a=(−a)⋅(−a)>0a\cdot a =(-a)\cdot(-a) > 0 weil (−a)>0(-a)>0 nach (i).
(iv) Wir multiplizieren 0<10<1 mit 1a\dfrac 1 a und erhalten die Behauptung.
(v) Wir multiplizieren mit 1a\dfrac 1 a und 1b\dfrac 1 b und benutzen (iv).
(vi) 0<a<b0<a<b   ⟹  ac<bc\implies ac<bc und 0<c<d0<c<d   ⟹  bc<bd\implies bc<bd, also ac<bdac<bd.
(vii) Folgt direkt aus (vi) mit a=ca=c und b=db=d. □\qed

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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