Körpererweiterungen

Sei \(\displaystyle L\) ein Körper, und sei \(\displaystyle K\) ein Unterkörper von \(\displaystyle L\), dann heißt \(\displaystyle L\) Erweiterungskörper) von \(\displaystyle K\).
Die verbreitetste Schreibweise für Körpererweiterungen ist \(\displaystyle L/K\) (nicht als Bruch, sondern nebeneinander mit Schrägstrich), manchmal findet man auch \(\displaystyle L|K\), seltener die Schreibweise \(\displaystyle L:K\). Einige Autoren schreiben auch lediglich \(\displaystyle L \supset K\) und fügen in Worten an, dass es sich um eine Körpererweiterung handelt.
Die Schreibweise \(\displaystyle L/K\) entspricht am ehesten der Sprechweise "L über K", es besteht aber eine geringe Verwechslungsgefahr mit Faktorstrukturen wie Faktorgruppen oder Faktorräumen, die ebenfalls mit einem Schrägstrich geschrieben werden. Da aber keine Bildung einer Faktorstruktur von Körpern möglich ist, ist diese Verwechslung praktisch ausgeschlossen.
Etwas allgemeiner betrachtet man auch den folgenden Fall als Körpererweiterung: Seien \(\displaystyle K\), \(\displaystyle K'\)und \(\displaystyle L\) Körper, \(\displaystyle K'\) Teilkörper von \(\displaystyle L\) und \(\displaystyle K\) isomorph zu \(\displaystyle K'\). Wenn es nicht zu Missverständnissen führt, identifiziert man \(\displaystyle K\) und \(\displaystyle K'\), und fasst so \(\displaystyle K\) selbst als Teilkörper von \(\displaystyle L\) auf. Dies kommt daher, dass man in der Körpertheorie isomorphe Körper häufig nicht unterscheidet, da sie sich in vielen Belangen gleich verhalten.
Ein Körper \(\displaystyle M\) heißt Zwischenkörper der Körpererweiterung \(\displaystyle L/K\), wenn M ein Unterkörper von \(\displaystyle L\) und ein Oberkörper von \(\displaystyle K\) ist, also \(\displaystyle K \subseteq M \subseteq L\) gilt.
 
 

Körperadjunktion

Ist \(\displaystyle V\) eine Teilmenge von \(\displaystyle L\), dann ist der Körper \(\displaystyle K(V)\) ("\(\displaystyle K\) adjungiert \(\displaystyle V\)") definiert als der kleinste Teilkörper von \(\displaystyle L\), der \(\displaystyle K\) und \(\displaystyle V\) enthält. Er besteht aus allen Elementen von \(\displaystyle L\), die mit endlich vielen Verknüpfungen \(\displaystyle +,-,\cdot,/\) aus den Elementen von \(\displaystyle K\) und \(\displaystyle V\) gebildet werden können. Ist \(\displaystyle L\) = \(\displaystyle K\)(\(\displaystyle V\)), dann sagt man, \(\displaystyle L\) wird von \(\displaystyle V\) erzeugt.

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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