Ringe und Körper

Ringe und Körper sind algebraische Strukturen mit zwei Operationen, gemeinhin einer "Addition" und einer "Multiplikation", wobei diese Namen nur der Anschaulichkeit halber gewählt sind. Beide Strukturen verlangen, dass bzgl. der Addition eine kommutative Gruppe vorliegt. Bei der Multiplikation erfolgt der Übergang vom Ring zum Körper durch die Verschärfung der Forderungen.

Ringe

Eine Menge \(\displaystyle R\) mit zwei binären Operationen \(\displaystyle +\) und \(\displaystyle \cdot\) heißt Ring, wenn für diese die folgenden Gesetze gelten:
  1. \(\displaystyle (R,+)\) ist eine kommutative Gruppe
  2. \(\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\) für alle \(\displaystyle a,b,c\in R\) (Assoziativität bzgl. \(\displaystyle \cdot\))
  3. \(\displaystyle a\cdot (b+c)= a\cdot b+a\cdot c\) und \(\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\) für alle \(\displaystyle a,b,c\in R\) (Distributivgesetze)
Wie beim Zahlenrechnen lässt man \(\displaystyle \cdot\) meistens weg und schreibt \(\displaystyle ab\) für \(\displaystyle a\cdot b\), außerdem soll die Punktrechnung vor die Strichrechnung gehen.
Ein Ring \(\displaystyle R\) heißt kommutativer Ring, wenn bzgl. \(\displaystyle \cdot\) das Kommutativgesetz gilt (\(\displaystyle \forall a,b\in R: ab=ba\)).
Gibt es ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation \(\displaystyle 1\in R\) mit \(\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a\) für alle \(\displaystyle a\), so spricht man von einem Ring mit Einselement oder unitären Ring.
 
 

Beispiele

  1. \(\displaystyle \{0\}\) ist ein Ring bezüglich \(\displaystyle +\) und \(\displaystyle \cdot\). Dabei fallen die Ringeins und die Ringnull zusammen.
  2. \(\displaystyle \Z\subseteq\Q\subseteq\R\subseteq\C\) sind Ringe. \(\displaystyle \Q,\R,\C\) sogar Körper.
  3. Ist \(\displaystyle (G,+)\) eine abelsche Gruppe, so bilden die Endomorphismen von \(\displaystyle A\) einen Ring, den Endomorphismenring \(\displaystyle \End(A)\). Die Multiplikation \(\displaystyle \circ\) ist dabei die Komposition von Abbildungen. Für \(\displaystyle f,g\in\End(A)\) sind \(\displaystyle f+g\) und \(\displaystyle f\circ g\) komponentenweise durch \(\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)\) und \(\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))\) definiert.

Körper

Eine Menge \(\displaystyle K\) mit zwei binären Operationen \(\displaystyle +\) und \(\displaystyle \cdot\) heißt Schiefkörper, wenn \(\displaystyle K\) ein Ring ist und \(\displaystyle K\setminus\{0\}\) bzgl. der Multiplikation eine Gruppe bildet.
\(\displaystyle K\) heißt Körper, wenn \(\displaystyle K\) Schiefkörper ist und \(\displaystyle K\setminus\{0\}\) bzgl. der Multiplikation eine kommutative Gruppe bildet.
Es gelten die folgenden Zusammenhänge:
  • Jeder Körper ist ein Schiefkörper
  • Jeder Körper ist ein kommutativer Ring
  • Jeder Schiefkörper ist ein unitären Ring
  • Jeder unitäre Ring ist ein Ring

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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