Grundlegende Eigenschaften von Ringen

Satz 15WQ

In einem Ring \(\displaystyle R\) gilt für alle \(\displaystyle a,b\in R\):
  1. \(\displaystyle 0a=a0=0\)
  2. \(\displaystyle (\uminus a)b=a(\uminus b)=\uminus ab\)
  3. \(\displaystyle (\uminus a)(\uminus b)=ab\)

Beweis

(i) \(\displaystyle 0a=(a-a)a=aa-aa=0\)
(ii) \(\displaystyle (\uminus a)b=(0-a)b=0b-ab=0-ab=\uminus ab\)
(iii) \(\displaystyle (\uminus a)(\uminus b)=-(\uminus ab)=ab\) \(\displaystyle \qed\)

Satz 15WR (Kommutativität unitärer Ringe)

In einem unitären Ring folgt die Kommutativität der Addition aus den anderen Ringaxiomen und es gilt \(\displaystyle 1\neq 0\), wenn der Ring vom Nullring verschieden ist.
 
 

Beweis

\(\displaystyle a+a+b+b=1\cdot a+1\cdot a+1\cdot b+1\cdot b\) \(\displaystyle =(1+1) a+(1+1) b\) \(\displaystyle =(1+1)(a+b)\) \(\displaystyle =(a+b)+(a+b)=a+b+a+b\)
Addiert man nun \(\displaystyle \uminus a\) von links und \(\displaystyle \uminus b\) von rechts ergibt sich mit \(\displaystyle a+b=b+a\) die Behauptung.
Wenn \(\displaystyle R\) verschieden vom Nullring ist, gibt es ein \(\displaystyle 0\neq a\in R\). Angenommen es ist \(\displaystyle 0=1\), dann gilt auch \(\displaystyle 0a=1a\), also \(\displaystyle a=0\). Widerspruch! \(\displaystyle \qed\)

Ich stimme mit der Mathematik nicht überein. Ich meine, daß die Summe von Nullen eine gefährliche Zahl ist.

Stanislaw Jerzy Lec

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