Grundlegende Eigenschaften von Ringen

Satz 15WQ

In einem Ring RR gilt für alle a,b∈Ra,b\in R:
  1. 0a=a0=00a=a0=0
  2. (−a)b=a(−b)=−ab(\uminus a)b=a(\uminus b)=\uminus ab
  3. (−a)(−b)=ab(\uminus a)(\uminus b)=ab

Beweis

(i) 0a=(a−a)a=aa−aa=00a=(a-a)a=aa-aa=0
(ii) (−a)b=(0−a)b=0b−ab=0−ab=−ab(\uminus a)b=(0-a)b=0b-ab=0-ab=\uminus ab
(iii) (−a)(−b)=−(−ab)=ab(\uminus a)(\uminus b)=-(\uminus ab)=ab □\qed

Satz 15WR (Kommutativität unitärer Ringe)

In einem unitären Ring folgt die Kommutativität der Addition aus den anderen Ringaxiomen und es gilt 1≠01\neq 0, wenn der Ring vom Nullring verschieden ist.
 
 

Beweis

a+a+b+b=1⋅a+1⋅a+1⋅b+1⋅ba+a+b+b=1\cdot a+1\cdot a+1\cdot b+1\cdot b =(1+1)a+(1+1)b=(1+1) a+(1+1) b =(1+1)(a+b)=(1+1)(a+b) =(a+b)+(a+b)=a+b+a+b=(a+b)+(a+b)=a+b+a+b
Addiert man nun −a\uminus a von links und −b\uminus b von rechts ergibt sich mit a+b=b+aa+b=b+a die Behauptung.
Wenn RR verschieden vom Nullring ist, gibt es ein 0≠a∈R0\neq a\in R. Angenommen es ist 0=10=1, dann gilt auch 0a=1a0a=1a, also a=0a=0. Widerspruch! □\qed

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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